Volumen bei Rotation um die x-Achse

Hinweis

Das Original dieser Maxima-Beispielaufgabe kann im Original hier heruntergeladen werden. Die wxmx-Datei kann mit WxMaxima geöffnet werden.

Bei dieser Aufgabe geht es um eine Volumensberechnung beziehungsweise um die Berechnung eines bestimmten Integrals

Aufgabe:

Das Volumen eines Rotationskörpers soll berechnet werden. Gegeben sind die erzeugende Funktion, die Untergrenze und die Obergrenze des Intervalls. Die Rotation soll um die x-Achse erfolgen. Die Aufgabe soll für die Funktion f(x) = x^2 + x + \frac{1}{x} gelöst werden, wobei die Untergrenze bei a=1 und die Obergrenze bei b=5 liegen soll.

Lösung:

Der Graph der Funktion f(x) = x^2 + x + \frac{1}{x} kann mit Hilfe von numpy und der matplotlib geplottet werden:

import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Wertereihen erzeugen:
x = np.arange(start=1,stop=5, step=0.01)
y = x**2 + x + 1/x

# Funktion plotten:
plt.plot(x,y)

# Layout anpassen:
plt.axis([0,6,0,35])
plt.xlabel("$x$")
plt.ylabel("$y$")
plt.grid(True)

plt.text(3.5, 30, "$f(x)=x^2 + x + 1/x$")

plt.show()

Das Ergebnis sieht folgendermaßen aus:

fig-volumen-rotation-um-x-achse

Graph der Funktion f(x) = x^2 + x + \frac{1}{x}.

Um das Volumen des aus f(x) bei Rotation um die x-Achse entstehenden Rotionskörpers zu berechnen, kann man sich diesen aus lauter winzig schmalen (Zylinder-)Scheiben zusammengesetzt denken. Jede dieser Scheiben hat als Radius den Wert f(x), als Höhe den Wert \mathrm{d} x und als Volumen somit \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot f(x)^2 \cdot \mathrm{d}x. Alle diese infinitesimalen Volumina müssen aufsummiert werden, was folgendem Integral entspricht:

V = \int_{a}^{b} \left( \pi \cdot f^2(x) \right) \cdot \mathrm{d} x = \int_{1}^{5} \pi \cdot \left( x^2 + x + \frac{1}{x} \right)^2 \cdot \mathrm{d} x

Dieses Integral kann mittels Sympy berechnet werden. Der Code dazu lautet folgendermaßen:

import sympy as sy

# Sympy-Variablen initiieren:
x    = sy.S( 'x' )
a, b = sy.S( [1, 5] )

# Bestimmtes Integral berechnen:
sy.integrate( sy.pi * (x**2 + x + 1/x) , (x,a,b) )

# Ergebnis: 15164*pi/15

# Alternativ: Ergebnis als Fließkommazahl ausgeben:
sy.integrate( sy.pi * (x**2 + x + 1/x) , (x,a,b) ).evalf()

# Ergebnis: 3175.94073326904

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt somit rund 3174,94 Volumeneinheiten.