sympy – ein Computer-Algebra-System

Sympy ist ein Modul, das ein Computer-Algebra-System für Python bereitstellt. Es kann, wenn bei der Python-Installation das Paket python3-setuptools mit installiert wurde, in einer Shell folgendermaßen heruntergeladen installiert werden:

sudo easy_install3 sympy

Anschließend kann es beispielsweise mittels import sympy oder import sympy as sy importiert werden. Im folgenden wird von letzterer Variante ausgegangen, um Schreibarbeit zu sparen.

Im folgenden werden nur einige häufig vorkommende Funktionen von Sympy beschrieben. Eine vollständige Dokumentation findet man auf der Sympy-Projektseite.

Konstanten und mathematische Funktionen

Ähnlich wie im math-Modul sind auch in Sympy einige mathematische Konstanten definiert:

sy.E Eulersche Zahl e = 2.71828\ldots
sy.pi Kreiszahl \pi = 3.14159\ldots
sy.GoldenRatio Goldener Schnitt \Phi = 1.61803\ldots
sy.oo Unendlich \infty

Ebenso sind in Sympy alle elementaren Funktionen wie sin(), cos(), exp() usw. definiert und können in gleicher Weise wie im math-Modul verwendet werden. Weitere hilfreiche Funktionen sind beispielsweise:

sy.Abs(x) Betragsfunktion
sy.binomial(n,k) Binomialkoeffizient
sy.factorial(num) Fakultät
sy.fibonacci(n) Fibonacci-Folge (n-tes Element)
sy.log(x) Natürlicher Logarithmus (Basis e)
sy.log(x, a) Logarithmus zur Basis a

Das besondere an den Sympy-Funktionen ist, dass diese nicht nur eine einzelne Zahl bzw. eine Variable als Argument akzeptieren, sondern auch auf so genannte „Symbole“ angewendet werden können. Mit diesem Datentyp werden in Sympy die in der Mathematik für Variablennamen genutzten Buchstaben dargestellt. Beispielsweise kann eine in der Mathematik typischerweise mit x bezeichnete Variable folgendermaßen als Sympy-Symbol definiert werden:

x = sy.S('x')

type(x)
# Ergebnis: sympy.core.symbol.Symbol

Möchte man mehrere „Symbole“ – also mehrere „mathematische“ Variablen – auf einmal definieren, so kann die symbols()-Funktion genutzt werden, um eine durch Leerzeichen getrennte Zeichenkette als Liste von Symbol-Bezeichnungen zu interpretieren:

x,y,z = sy.symbols('x y z')

Bei der Festlegung von Symbolen mittels sy.S() oder sy.symbols() kann auch als Option positive=True angegeben werden, um nicht-negative mathematische Variablen zu definieren.

Mit diesen Symbolen kann nun gerechnet werden, ohne ihnen einen expliziten Wert zuweisen zu müssen.

Ausmultiplizieren und Vereinfachen

Um mathematische Terme umzuformen oder zu vereinfachen, gibt es in Sympy unter anderem die Funktionen expand(), factor(), ratsimp() und simplify().

Mit Hilfe der expand()-Funktion lassen sich beispielsweise binomische Formeln explizit berechnen:

x = sy.S('x')

sy.expand( (x + 2)**5 )
# Ergebnis: x**5 + 10*x**4 + 40*x**3 + 80*x**2 + 80*x + 32

Die expand()-Funktion kann mittels der Optionen frac=True, log=True oder trig=True auch zum Erweitern von Bruchtermen, Logarithmen oder trigonometrischen Ausdrücken verwendet werden:

x = sy.S('x')
x1, x2 = sy.symbols('x1 x2')

sy.expand( ((x+3)/x) / (x+1) , frac=True)
# Ergebnis: (x + 3)/(x**2 + x)

sy.expand( sy.log(x**5) , log=True, force=True)
# Ergebnis: 5*log(x)

sy.expand( sy.sin(x1+x2) , trig=True)
# Ergebnis: sin(x1)*cos(x2) + sin(x2)*cos(x1)

Im letzten Beispiel wurde die Erweiterung durch die Option force=True erzwungen, da Sympy in diesem Fall die angegebene Umformung des Terms als ungünstig einstuft.

Umgekehrt können beispielsweise Polynome mittels der Funktion factor() in einzelne Faktoren oder Binome zerlegt werden:

x = sy.S('x')

sy.factor( 3*x**5 + 7*x**2 )
# Ergebnis: x**2*(3*x**3 + 7)

sy.factor( x**2 + 2*x + 1 )
# Ergebnis: (x + 1)**2

Bruchterme lassen sich mittels der Funktion ratsimp() vereinfachen:

x = sy.S('x')
x1, x2 = sy.symbols('x1 x2')

sy.ratsimp( (x**2 - 9) / (x-3) )
# Ergebnis: x + 3

sy.ratsimp( 1/x1 + 1/x2 )
# Ergebnis: (x1 + x2) / (x1 * x2)

Weitere Vereinfachungen von Termen sind mit der Funktion simplify() möglich:

x = sy.S('x')

sy.simplify( sy.sin(x)**2 + sy.cos(x)**2 )
# Ergebnis: 1

sy.simplify( 3*sy.log(x) + 2 * sy.log(5*x) )
# Ergebnis: 5*log(x) + log(25)

Die Funktion simpify() kann auch genutzt werden, um die Äquivalenz zweier Terme T_1 und T_2 zu überprüfen. Dies ist nicht zuletzt deshalb von Bedeutung, da die mathematische Äquivalenz in Sympy nicht mit dem Vergleichsoperator als T1 == T2 geprüft werden kann. Stattdessen kann aber geprüft werden, ob simplify(T1 - T2) den Wert Null ergibt:

x1, x2 = sy.symbols('x1 x2')

sy.sin(x1 + x2) == sy.sin(x1) * sy.cos(x2) + sy.cos(x1) * sy.sin(x2)
# Ergebnis: False

sy.simplify(
    sy.sin(x1 + x2) - ( sy.sin(x1) * sy.cos(x2) + sy.cos(x1) * sy.sin(x2) )
    )
# Ergebnis: 0

Für trigonometrische Vereinfachungen kann zudem die Funktion trigsimp() genutzt werden.

Gleichungen und Ungleichungen

Sympy kann insbesondere zum Lösen von Gleichungen, Gleichungssystemen und Ungleichungen genutzt werden. Eine Gleichung kann in Sympy folgendermaßen mittels der Funktion Equation() beziehungsweise der Kurzform Eq() definiert werden:

x = sy.S('x')

sy.Eq(x**2 +1, 3*x -1)
# Ergebnis: x**2 + 1 == 3*x - 1

Das Ergebnis von Eq() ist ein Gleichungs-Objekt. Dieses kann wahlweise in eine Variable gespeichert oder an die Funktion solve() übergeben werden, um die Lösung(en) der Gleichung zu bestimmen:

sy.solve( sy.Eq(x**2 +1, 3*x -1) )
# Ergebnis: [1, 2]

Gleichungen lassen sich auch mit mehreren Parametern a_i formulieren, die bei Bedarf mittels der Funktion subs() durch konkrete Werte ersetzt werden können:

x = sy.S('x')
a, b, c = sy.symbols("a b c")

eq = sy.Eq( a*x**2 + b*x + c, 0)

# Gleichung allgemein mit x als Variable lösen:

sy.solve( eq, x )
# Ergebnis: (-b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a), -(b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a)]

# Gleichung mit Parametern a=1, b=3, c=2 lösen:

sy.solve( eq.subs( {a:1, b:-3, c:2} ) )
# Ergebnis: [1, 2]

Die Funktion solve() kann auch verwendet werden, um Gleichungssysteme zu lösen. Hierzu empfiehlt es sich, die einzelnen Gleichungen zunächst zu einer Liste zusammenzufassen:

x1, x2, x3 = sy.symbols("x1 x2 x3")

equations = [
    sy.Eq( 8*x1 + 2*x2 + 3*x3 ,  15 ),
    sy.Eq( 6*x1 - 1*x2 + 7*x3 , -13 ),
    sy.Eq(-4*x1 + 5*x2 - 3*x3 ,  21 ),
]

sy.solve(equations)
# Ergebnis: {x2: 4, x1: 2, x3: -3}

Zum Formulieren von Ungleichungen mit einer einzelnen Variablen zu formulieren, können die folgenden Funktionen in gleicher Weise wie die Funktion Eq() genutzt werden:

Ne() Ungleich („not equal“)
Lt() Kleiner als („less than“)
Le() Kleiner gleich („less or equal“)
Gt() Größer als („greater than“)
Ge() Größer gleich („greater or equal“)

Gegeben sei beispielsweise folgende Ungleichung:

x^2 - 8 \cdot x + 15 \le 2

In Sympy lautet die Ungleichung etwa so:

sy.Le(x**2 - 8*x + 15, 2)

Um die Ungleichung zu lösen, wird der obige Ausdruck wiederum an die Funktion solve() übergeben:

sy.solve( sy.Le(x**2 - 8*x + 15, 2) )
# Ergebnis: And(-sqrt(3) + 4 <= re(x), im(x) == 0, re(x) <= sqrt(3) + 4)

Man erhält also die Schnittmenge („And“) von [-\sqrt{3}+ 4 \,;\, +\infty[ und ]-\infty \,;\, \sqrt{3}+4] als Ergebnis, also das Intervall [-\sqrt{3}+ 4 \,;\, +\sqrt{3}+ 4]. Die zusätzliche Angabe von im(x) == 0 bedeutet lediglich, dass es sich bei der Lösung um eine reellwertige Lösung handelt. [1]

… to be continued …

Links

Anmerkungen:

[1]

Eine komplexe Zahl z, deren Imaginärteil \text{Im}(z) gleich Null ist, hat nur einen Realteil \text{Re}(z). Sie ist damit mit einer reellen Zahl x identisch, für die x = \text{Re}(z) gilt.

Eine andere Möglichkeit Polynom-Ungleichungen zu lösen, bietet übrigens die Funktion solve_poly_inequality() aus dem Teilmodul sympy.solvers. Liegt ein Polynom in der allgemeinen Form vor, also a _{\rm{n}} \cdot x^n + a _{\rm{n-1}} \cdot x ^{n-1} + \ldots + a _{\rm{1}} \!\cdot x + a _{\rm{0}} = 0, dann kann die Ungleichung folgendermaßen gelöst werden:

from sympy.solvers.inequalities import solve_poly_inequality

solve_poly_inequality( sy.Poly( 8*x - 13 ) , "<" )
# Ergebnis: [(-oo, 13/8)]