Mechanische Wellen

Bestehen Wechselwirkungen zwischen einzelnen schwingenden Objekten, so kann sich der Schwingungszustand eines Oszillators jeweils auf die benachbarten Oszillatoren ausbreiten. Eine solche räumliche Ausbreitung eines Schwingungszustands infolge von Kopplungseffekten bezeichnet man als (mechanische) Welle. Durch Wellen wird also ausschließlich Energie, jedoch keine Materie übertragen.

Beispiele:

  • Seilwellen entstehen, wenn ein Seil periodisch in Querrichtung hin- und herbewegt wird.
  • Schallwellen entstehen durch schnelle Schwingungen eines elastischen Körpers, beispielsweise einer Lautsprechermembran oder einer Stimmgabel.
  • Wasserwellen entstehen meist dadurch, dass Wind über die ansonsten glatte Wasseroberfläche streift. Die Wasseroberfläche hebt und senkt sich dadurch in periodischen Abständen.

In Diagrammen wird bei Wellen – anders als Schwingungen – meistens nicht der zeitliche, sondern der räumliche Verlauf dargestellt. Fällt ein Stein ins Wasser, so entstehen um die Eintauchstelle kreisförmige Wellen, die sich nach allen Seiten ausbreiten. Von oben betrachtet ergeben sich sich in diesem Fall konzentrische Kreise mit zunehmendem Radius; in der Seitenansicht haben die Wellen näherungsweise einen räumlich periodischen Verlauf. Ist die Wellenform sinusförmig (beispielsweise bei Seilwellen), so nennt man die Welle harmonisch, andernfalls nennt man sie anharmonisch (beispielsweise Wasserwellen).

fig-formen-mechanischer-wellen

Formen mechanischer Wellen: Seilwelle, Wasserwelle und Luftwelle (Schall).

Längswellen und Querwellen

Allgemein werden Wellen in so genannte Längs- und Querwellen unterteilt:

  • Bei Längswellen verlaufen die Schwingungen parallel zur Ausbreitungsrichtung der Welle. Dies ist beispielsweise bei Druck- oder Schallwellen in Luft der Fall.
  • Bei Querwellen verlaufen die Schwingungen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle. Dies ist beispielsweise bei Seilwellen oder Schwingungen von Instrumentensaiten sowie bei elektromagnetischen Wellen bzw. Lichtwellen der Fall.

Längswellen sind grundsätzlich mit einer Ausbreitung von Verdünnungen und Verdichtungen des Trägermediums verbunden, so dass sie sich nur in komprimierbaren Materialien ausbreiten können. In manchen Fällen, beispielsweise bei Erdbebenwellen oder bei Schallwellen in Flüssigkeiten und Festkörpern, treten Längs- und Querwellen gleichzeitig auf.

Ausbreitung von Wellen

Zur physikalischen Beschreibung einer Welle werden die gleichen Größen wie zur Beschreibung von Schwingungen verwendet. Zusätzlich sind zwei weitere Begriffe für die Beschreibung von Wellen nützlich:

  • Alle Punkte, die vom Ausgangspunkt einer Welle den jeweils gleichen zeitlichen Abstand haben, werden “Wellenfront” genannt. Bei periodischen Wellen haben alle Punkte einer Wellenfront den gleichen Schwingungszustand (“Phase”).
  • Die so genannte Wellenlänge \lambda gibt die räumliche Periode einer Welle an, das heißt den räumlichen Abstand zweier Wellenfronten. Die Wellenlänge wird in Metern angegeben.
  • Die Ausbreitungsrichtung von Wellen ist stets senkrecht zu den einzelnen Wellenfronten.
fig-wellenfront-und-ausbreitungsrichtung

Wellenfronten und Ausbreitungsrichtungen bei linearen und kreisförmigen Wellen.

Die Geschwindigkeit, mit der sich die einzelnen Wellenfronten ausbreiten, wird als Ausbreitungs- oder Phasengeschwindigkeit v der Welle bezeichnet.[1] Die Richtung von v ist dabei stets senkrecht zur Wellenfront. In vielen Materialien, insbesondere in Luft, breiten sich die einzelnen Wellenfronten – nahezu unabhängig von der Frequenz der Wellen – mit der gleichen Ausbreitungsgeschwindigkeit fort. Zwischen der Frequenz f der Welle und der Wellenlänge \lambda gilt dabei folgender wichtiger Zusammenhang, der bisweilen auch “Wellenformel” genannt wird:

(1)v = \lambda \cdot f

Anschaulich kann man sich diese Gleichung vorstellen, wenn man sich die Wellenfronten unterschiedlicher Frequenz als zwei gemeinsam wandernde Spaziergänger mit unterschiedlicher Schrittlänge vorstellt. Da sich beide mit der gleichen Geschwindigkeit v = \text{konst.} fortbewegen, muss der Spaziergänger mit der kürzeren Schrittlänge eine entsprechend höhere Schrittfrequenz haben.

In der Akustik breiten sich entsprechend alle Schallwellen mit unterschiedlicher Frequenz (Tonhöhe) in den meisten Materialien gleich schnell aus, in der Optik breiten gilt das gleiche für Lichtwellen unterschiedlicher Frequenz (Farbe). Für die Schallgeschwindigkeit in Luft gilt dabei c_0 = v_{\mathrm{Schall}}
\approx \unit[330]{\frac{m}{s}}, für die Lichtgeschwindigkeit gilt c_0
= v_{\mathrm{Licht}} \approx \unit[3 \cdot 10^8]{\frac{m}{s}}. Kennt man die Frequenz oder die Wellenlänge einer Licht- oder Schallwelle, so kann man mittels Gleichung (1) unmittelbar die zugehörige fehlende Größe berechnen:

Beispiele:

  • Eine Schallwelle mit einer Frequenz von \unit[100]{Hz} (entspricht einem Brummen von alten Lautsprechern) hat folgende Wellenlänge:

    v_{\mathrm{Schall}} = \lambda \cdot f \quad \Leftrightarrow \quad \lambda =
\frac{v_{\mathrm{Schall}}}{f} =
\frac{\unit[330]{\frac{m}{s}}}{\unit[100]{\frac{1}{s}}} = \unit[3,3]{m}
{\color{white}\qquad \qquad \qquad \qquad \quad  1}

    Die Frequenzen von hörbarem Schall liegen etwa zwischen \unit[20]{Hz} und \unit[20]{kHz}; dies entspricht Wellenlängen von \unit[16,5]{m} bis rund \unit[2]{cm}.

  • Eine Lichtwelle mit einer Wellenlänge von \unit[500]{nm} = \unit[500
\cdot 10 ^{-9}]{m} hat folgende Frequenz:

    v_{\mathrm{Licht}} = \lambda \cdot f \quad \Leftrightarrow \quad f = \frac{v
_{\mathrm{Licht}}}{\lambda} = \frac{\unit[\;\;\;3 \cdot 10
^{+8}]{\frac{m}{s}}}{\unit[500 \cdot 10 ^{-9}]{m}} = \unit[600 \cdot 10
^{12}]{\frac{1}{s}} = \unit[600]{THz}

    Die Wellenlängen von sichtbarem Licht liegen zwischen etwa \unit[380]{nm} und \unit[780]{nm}; dies entspricht Frequenzen von etwa \unit[789]{THz} bis \unit[384]{THz}.

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit v von Wellen hängt Materialeigenschaften des Wellenträgers ab. Beispielsweise gelten folgende Zusammenhänge:

  • Bei Longitudinalwellen in Flüssigkeiten gilt v = \sqrt{\frac{K}{\rho}}, wobei K für den Kompressionsmodul der Flüssigkeit und \rho für ihre Dichte steht.
  • Bei Longitudinalwellen in Gasen gilt v = \sqrt{\frac{\kappa \cdot
p}{\rho}}, wobei \kappa für den Adiabatenexponenten, p für den Druck im Gas und \rho für dessen Dichte steht.
  • Bei Longitudinalwellen in festen Stäben gilt v =
\sqrt{\frac{E}{\rho}}, wobei E für den Elastizitätsmodul des Festkörpers und \rho für dessen Dichte steht.
  • Bei Transversalwellen in festen Stäben gilt v = \sqrt{\frac{G}{\rho}}, wobei G für den Schubmodul des Festkörpers und \rho für dessen Dichte steht.
  • Bei Transversalwellen in dünnen Drähten gilt v = \sqrt{\frac{F}{\rho \cdot
A}}, wobei F für die Spannkraft im Draht, \rho für dessen Dichte und A für dessen Querschnittsfläche steht.

Aus den obigen Formeln folgt beispielsweise, dass die Schallgeschwindigkeit in Luft mit zunehmender Temperatur ebenfalls zunimmt, da die Dichte von Gasen bei gleichem Druck und steigender Temperatur abnimmt. Bei Musikinstrumenten hingegen ist vor allem die Spannkraft und die Querschnittsfläche der Seiten von Bedeutung: Tief klingende Saiten sind oftmals dicker, aus Materialien mit einer höheren Dichte gefertigt und/oder weniger stark gespannt.

In manchen Materialien ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit v zudem abhängig von der Frequenz f der Wellen. In diesem Fall laufen die einzelnen Wellen auseinander, man spricht von Dispersion. Dieser Effekt wird beispielsweise in der Optik zur Aufspaltung von weißem Licht in Spektralfarben mittels eines Prismas genutzt.

Das Superpositionsprinzip

Wellen können sich, ohne sich gegenseitig zu stören, zu einer resultierenden Welle überlagern. Sind die Frequenzen und Amplituden der einzelnen (Teil-)Wellen bekannt, so kann man daraus die resultierende Welle bestimmen.

Überlagern sich zwei sinusförmige Wellen mit gleicher Ausbreitungsrichtung und gleicher Frequenz, so entsteht wiederum eine sinusförmige Welle mit der gleichen Frequenz. Die Amplitude und Phase der resultierenden Schwingung ist von denen der einzelnen Wellen abhängig.

fig-ueberlagerung-gleiche-frequenz

Überlagerung zweier sinusförmiger Wellen gleicher Frequenz und gleichen bzw. unterschiedlichen Amplituden.

Überlagern sich zwei sinusförmige Wellen mit gleicher Ausbreitungsrichtung, aber unterschiedlicher Frequenz, so entsteht eine nicht-sinusförmige Welle. Die Amplitude und Form der resultierenden Schwingung ist wiederum von denen der einzelnen Wellen abhängig.

fig-ueberlagerung-unterschiedliche-frequenz

Überlagerung zweier sinusförmiger Wellen unterschiedlicher Frequenz und gleichen bzw. unterschiedlichen Amplituden.

Unterscheiden sich zwei Wellen mit gleicher Phase und gleicher Amplitude nur geringfügig in ihrer Frequenz, so ergibt sich bei der Überlagerung beider Wellen eine so genannte Schwebung. Hierbei handelt es sich um eine Welle mit der mittleren Frequenz f = \frac{1}{2} \cdot (f_1 + f_2) der beiden Einzelschwingungen, deren Amplitude periodisch zwischen Null und der maximalen Amplitude schwankt.

fig-ueberlagerung-schwebung

Überlagerung zweier sinusförmiger Wellen geringfügig unterschiedlicher Frequenz (Schwebung).

Je geringer der Frequenzunterschied der Teilwellen ist, desto länger wird die Dauer der Schwebung. Für die Frequenz der Schwebung gilt:

(2)f_{\mathrm{s}} = \Delta f = |f_2 - f_1|

Schwebungen werden beispielsweise genutzt, um Klaviere oder Gitarren zu stimmen: Verklingt die Schwebung nicht schneller als die angeschlagenen Töne des Instruments, die in Übereinstimmung gebracht werden sollen, so ist das Instrument gut gestimmt.

Interferenz-Effekte

Treffen an einer Stelle zwei oder mehrere Wellen aus unterschiedlichen Richtungen aufeinander, so findet dort wiederum eine Überlagerung der einzelnen Wellenamplituden statt:

  • Haben die einzelnen Wellen eine gleiche momentane Auslenkung (beide in positive oder beide in negative Auslenkungsrichtung), so überlagern sich die Wellen “konstruktiv”, das heißt die resultierende Amplitude ist größer als die Amplituden der einzelnen Wellen.
  • Haben die einzelnen Wellen hingegen unterschiedliche Auslenkungsrichtungen, so überlagern sich die Wellen “destruktiv”; die resultierende Amplitude ist hierbei geringer als die Beträge der einzelnen Amplituden. Auch eine völlige Auslöschung zweier Teilwellen ist in diesem Fall möglich.

An jeder Stelle der Welle sind somit die Auslenkungszustände der Teilwellen unter Berücksichtigung des Vorzeichens zu addieren. Vereinfacht gesagt: Trifft ein “Wellenberg” auf einen anderen “Wellenberg”, so ergibt sich ein höherer Wellenberg, trifft ein “Wellenberg” auf ein “Wellental”, so löschen sich die Amplituden an dieser Stelle zumindest teilweise aus.

fig-interferenz-zweier-wellen

Interferenz zweier Wellen mit gleich großer Amplitude und entgegengesetzt gleich großer Ausbreitungsgeschwindigkeit v.

Handelt es sich bei den aufeinander treffenden Wellen nicht nur um einen einzelnen Auslenkungszustand (Wellenberg bzw. Wellental, manchmal allgemein auch “Wellenpaket” genannt), sondern um einen kontinuierlichen, nicht abbrechenden “Wellenzug”, so bezeichnet man das Ergebnis der Überlagerungen der Teilwellen als Interferenz.

Kohärenz und Gangunterschied

Dauerhaft bilden sich Interferenz-Effekte nur dann aus, wenn die sich überlagernden Wellen eine gleiche Frequenz und eine feste Phasenbeziehung zueinander haben. Die Wellen müssen also von gleich schnell schwingenden Erregern ausgehen, die sich relativ zueinander in Ruhe befinden, sich also nicht voneinander entfernen oder aufeinander zubewegen. Erfüllen zwei oder mehrere Wellenzüge diese beiden Bedingungen, so bezeichnet man sie als kohärent.

Werden beispielsweise, wie in der obigen Abbildung dargestellt, Wasserwellen durch zwei im gleichen Rhythmus eintauchende Stangen erzeugt, so kommen beide Teilwellen stets gleichzeitig an der Mittelsenkrechten zwischen den beiden Eintauchstellen an. Entlang dieser Linie überlagern sich beide Wellen somit stets konstruktiv, es treten dort also hohe Wellenberge auf, gefolgt von tiefen Wellentälern. Zusätzlich zur Mittelsenkrechten existieren noch weitere Linien, an denen es stets zu konstruktiver (oder auch destruktiver) Interferenz kommt.

Entscheidend dafür, ob es an einer Stelle zu konstruktiver oder destruktiver Interferenz kommt, sind die beiden Weglängen s_1 und s_2 von den beiden Ausgangspunkten der Welle zur betreffenden Stelle. Haben beide Wellen zu Beginn den gleichen Auslenkungszustand (die gleiche Phase), so ergibt sich genau dann ein Interferenz-Maximum, wenn sich die beiden Weglänge um ein Vielfaches einer ganzen Wellenlänge unterscheiden. Es muss in diesem Fall also für den so genannten “Gangunterschied” \Delta s = s_2 - s_1 folgendes gelten:

(3)\Delta s = n \cdot \lambda \quad ; \quad \text{n = 0,\, 1,\, 2,\, \ldots}

Diese Bedingung besagt anschaulich, dass beide Wellen exakt mit dem gleichen Auslenkungszustand ankommen, auch wenn die eine Welle bis zum Ankunftsort bereits ein paar Wellenberge und Wellentäler mehr durchlaufen hat. Beträgt der Gangunterschied hingegen genau eine halbe Wellenlänge, so treffen die Wellenberge der einen Welle auf die Wellentäler der anderen Welle, und man erhält destruktive Interferenz. An einem Interferenz-Minimum muss also für den Gangunterschied \Delta s gelten:

(4)\Delta s = \frac{2 \cdot n+1}{2} \cdot \lambda \quad ; \quad \text{n = 0,\,
1,\, 2,\, \ldots}

Durch \frac{2 \cdot n + 1}{2} wird hierbei ein ungerades Vielfaches einer halben Wellenlänge bezeichnet, also \frac{1}{2},\, \frac{3}{2},\,
\frac{5}{2},\, \ldots.

Stehende Wellen

Ein Sonderfall von Interferenz ergibt sich, wenn eine Welle auf ein festes Hindernis oder das Ende des Wellenträgers trifft. Kann sich die Welle nicht weiter ausbreiten, so wird sie reflektiert und läuft mit gleicher Ausbreitungsgeschwindigkeit in die entgegengesetzte Richtung. Dabei überlagert sich die reflektierte mit weiteren Wellen, die sich noch in der ursprünglichen Richtung bewegen.

Da die Frequenz der reflektierten Welle mit der Frequenz des ursprünglichen Wellenzugs identisch ist, kann es wiederum zu konstruktiver Interferenz kommen, wenn der Wellenträger eine zur Wellenlänge \lambda passende Wellenlänge hat:

  • Ist der Wellenträger, beispielsweise ein Seil oder eine Saite eines Musikinstrumens, an beiden Enden fest eingespannt, so ergibt sich genau dann eine konstruktive Interferenz, wenn die Seillänge l einem ganzzahligen Vielfachen von einem Halben der Wellenlänge entspricht. Es muss also folgende Bedingung gelten:

    (5)l = n \cdot \frac{\lambda}{2}

    Schwingende Saiten haben also, im Gegensatz zu normalen Pendeln, nicht nur eine einzige Eigenfrequenz. Zusätzlich zur so genannten “Grundschwingung” mit \lambda_0 = 2 \cdot l können weitere “Oberschwingungen” auftreten, wobei für die erste Oberschwingung \lambda_1 = \frac{2 \cdot l}{2} gilt, für die zweite \lambda_2 = \frac{2 \cdot l}{3}, für die dritte \lambda_3 = \frac{2 \cdot l}{4}, usw.

    Die Grundschwingung hat stets die größte Amplitude und ist ausschlaggebend für die Frequenz der sich ausbreitenden Welle. Die zusätzlich auftretenden Oberschwingungen hingegen modifizieren die Wellenkurve, so dass sich beispielsweise bei verschiedenen Musikinstrumenten auch dann unterschiedliche Klänge ergeben, wenn die Instrumente perfekt gestimmt sind und der gleiche “Ton” gespielt wird.

  • Ist der Wellenträger, beispielsweise eine Stimmgabel oder ein schwingendes Metallplättchen, an einem Ende fest eingespannt und am anderen Ende lose, so ergibt sich genau dann eine konstruktive Interferenz, wenn die Länge l des Objekts einem ganzzahligen Vielfachen von einem Viertel der Wellenlänge entspricht. Es muss also folgende Bedingung gelten:

    (6)l = n \cdot \frac{\lambda}{4}

    Dieser Zusammenhang gilt auch, wenn die Luftsäule in einem einseitig geschlosssenen Rohr zum Schwingen gebracht wird.

  • Ist der Wellenträger, beispielsweise bei einem Blasinstrument, an beiden Enden offen, so ergibt sich genau dann eine konstruktive Interferenz, wenn die Länge l des Objekts einem ganzzahligen Vielfachen von einem Halben der Wellenlänge entspricht. Es muss also – ebenso wie bei beidseitig fest eingespannten Wellenträgern – folgende Bedingung gelten:

    (7)l = n \cdot \frac{\lambda}{2}

Die Länge des Wellenträgers ist, beispielsweise bei Musikinstrumenten, also maßgeblich für die Wellenlänge \lambda der Grundschwingung. Welche Frequenz f die stehende Welle und somit der entstehende Ton hat, hängt allerdings wegen v = \lambda \cdot f beziehungsweise f =
\frac{c}{\lambda} auch von der Ausbreitungsgeschwindigkeit v der Welle auf dem Wellenträger ab.

Mathematische Beschreibung von Wellen

Im folgenden werden Wellen betrachtet, die räumlich ein sinus-förmiges Ausbreitungsmuster haben. Beginnt die Welle am Koordinatenursprung x_0=0 mit der Auslenkung y(x_0)=0, so ergibt sich ein Wellenausbreitung, wie sie in der folgenden Abbildung dargestellt ist.

fig-ausbreitung-einer-welle-1

Raümliche Ausbreitung einer Welle zur Zeit t_0.

In einer Entfernung von einem ganzzahligen Vielfachen der Wellenlänge \lambda wiederholt sich jeweils das Wellenmuster. Die Welle hat aus räumlicher Sicht also eine Periode der Länge \lambda; zugleich hat jede Sinusfunktion eine Periode von 2 \cdot \pi. Die Welle kann somit durch folgende Formel charakterisiert werden:

(8)y(x) = y_{\mathrm{max}} \cdot \sin{\left(2 \cdot \pi \cdot
\frac{x}{\lambda}\right)}

Hierbei bezeichnet y_{\mathrm{max}} die Amplitude der Welle. Ist x ein ganzzahliges Vielfaches von \lambda, so wird das Argument der Sinus-Funktion entsprechend zu einem ganzzahligen Vielfachen von 2
\cdot \pi. Beginnt die Welle bei x=0 mit dem Wert y=0, so genügt bereits die obige Gleichung zur Beschreibung der Welle, ansonsten muss im Argument der Sinusfunktion noch ein anfänglicher Phasenwinkel \varphi_0 dazu addiert werden.

Wellenmuster bleiben – abgesehen von stehenden Wellen – allerdings nicht an Ort und Stelle, sondern bewegen sich im Laufe der Zeit weiter. Bewegt sich die Welle beispielsweise in positiver x-Richtung, so wandert das Wellenmuster in der Zeit \Delta t um die Länge \Delta x weiter.

fig-ausbreitung-einer-welle-2

Raümliche Ausbreitung einer Welle zur Zeit t_1.

Für die “Verschiebung” der Welle um \Delta x gilt:

\Delta x = v_{\mathrm{welle}} \cdot \Delta t

Diese Beziehung ist nützlich, um den Auslenkungszustand einer sinus-förmigen Welle an jedem beliebigen Ort und zu jeder beliebigen Zeit zu bestimmen: Zum Zeitpunkt t_1 hat die Welle an der Stelle x_1 nämlich genau die gleiche Auslenkung, die sie zum Zeitpunkt t_0=0 an der Stelle x_0
= (x_1 - \Delta x) hatte. Es gilt somit:

y(x,t) &= y_{\mathrm{max}} \cdot \sin{\left(2 \cdot \pi \cdot \frac{x -
\Delta x}{\lambda}\right)} \\[6pt]
&= y_{\mathrm{max}} \cdot \sin{\left(\frac{2 \cdot \pi}{\lambda} \cdot
(x-\Delta x)\right)} \\[6pt]
&= y_{\mathrm{max}} \cdot \sin{\left(\frac{2 \cdot \pi}{\lambda} \cdot (x-
v_{\mathrm{welle}} \cdot t)\right)}

Hierbei wurde vereinfacht t für die Differenz \Delta t zwischen dem Zeitpunkt t und dem Startpunkt t_0=0 geschrieben. Die Gleichung kann weiter umgeformt werden, wenn man für v_{\mathrm{welle}} die Wellenbeziehung v_{\mathrm{welle}} = \lambda \cdot f einsetzt:

y(x,t) &= y_{\mathrm{max}} \cdot \sin{\left(\frac{2 \cdot \pi}{\lambda}
\cdot (x- \lambda \cdot f \cdot t)\right)} \\[6pt]
&= y_{\mathrm{max}} \cdot \sin{\left(2 \cdot \pi \cdot
\left(\frac{x}{\lambda}- \cdot f \cdot t\right)\right)}

Im zweiten Rechenschritt wurde der Faktor \frac{1}{\lambda} in die innere Klammer hinein multipliziert. Schreibt man in dieser Form für die Frequenz f = \frac{1}{T}, so wird die räumliche sowie zeitliche Periode der Welle deutlich:

y(x,t) &= y_{\mathrm{max}} \cdot \sin{\left(2 \cdot \pi \cdot
\left(\frac{x}{\lambda}- \frac{t}{T}\right)\right)}

Die Welle fängt immer wieder dann von Neuem an, wenn x ein Vielfaches der Wellenlänge \lambda ist (räumliche Periode), oder wenn t ein Vielfaches der Schwingungsdauer T ist (zeitliche Periode).

Für praktische Rechnungen ist es noch “handlicher”, auch den Faktor 2
\cdot \pi im Argument der Sinus-Funktion in die Klammer hinein zu multiplizieren. Man erhält hierbei:

y(x,t) &= y_{\mathrm{max}} \cdot \sin{\left(\frac{2 \cdot \pi}{\lambda}
\cdot x - \frac{2 \cdot \pi}{T} \cdot t\right)}

In dieser Darstellung entspricht der Term \frac{2 \cdot \pi}{T} gerade der Kreisfrequenz \omega der Welle; diese gibt an, mit welcher Geschwindigkeit die Welle in der Zeigerdarstellung oszilliert. Entsprechend bezeichnet man den Term \frac{2 \cdot
\pi}{\lambda} als so genannte “Kreiswellenzahl” k. Damit ergibt sich für den Auslenkungszustand einer Welle folgende “einfache” Form der Gleichung:

(9)y(x,t) &= y_{\mathrm{max}} \cdot \sin{\left(k \cdot x - \omega \cdot t\right)}

Die Kreiswellenzahl k gibt an, wie viele Wellen in eine bestimmte Längeneinheit (beispielsweise \unit{cm} oder \unit{m}) hinein passen. Je kürzer also die Wellenlänge \lambda einer Welle ist, desto größer ist also ihr k-Wert. Für Mikrowellen ist beispielsweise k in der Größenordnung von etwa 10 je \unit{cm}, bei Lichtwellen in der Größenordnung von über 10\,000 je \unit{cm}.


Anmerkungen:

[1]In der Akustik und Optik wird die Ausbreitungsgeschwindigkeit (Schall- bzw. Lichtgeschwindigkeit) üblicherweise mit c anstelle v bezeichnet.