Mathematische Beschreibung harmonischer Schwingungen

Die mathematische Beschreibung eines harmonisch schwingenden Gegenstands (“Oszillators”) wird häufig als Basis-Modell in der theoretischen Physik genutzt. In diesem Abschnitt wird daher das grundlegende mathematische Konzept kurz vorgestellt.

Schwingungsgleichungen

Ein Körper führt genau dann eine harmonische Schwingung aus, wenn auf ihn eine Kraft wirkt, die proportional zu seiner Auslenkung ist und stets in Richtung der Ruhelage zeigt; die Dämpfung der Schwingung sollte vernachlässigbar gering ist.

Das Federpendel

In guter Näherung werden diese Bedingungen von einem Pendelkörper, der an einer hängenden Schraubenfeder befestigt ist, erfüllt. Bei einer Auslenkung s aus der Ruhelage ist die rücktreibende Kraft gleich der Spannkraft F_{\mathrm{S}} der Schraubenfeder. Diese hängt von der Federhärte D ab und ist der Auslenkung entgegengesetzt:

F = - D \cdot s

Die Kraft ruft im schwingenden Gegenstand eine Beschleunigung a hervor, die nach dem Kraftgesetz als F = m \cdot a beschrieben werden kann, wobei m die Masse des Oszillators symbolisiert. Die Beschleunigung a entspricht nun gerade der zeitlichen Änderung der Geschwindigkeit, welche wiederum einer zeitlichen Änderung des Ortes beziehungsweise der Auslenkung entspricht.

Aus mathematischer Sicht sind die zur Auslenkung s proportionale Kraft und ihre zur Beschleunigung a = \dot{v} = \ddot{s} proportionale Wirkung über eine zweifache zeitliche Ableitung miteinander gekoppelt. Es gilt somit:

m \cdot \ddot{s} = - D \cdot s

Diese Gleichung kann so umsortiert werden, dass beide von der Auslenkung s abhängigen Größen auf der linken Seite stehen:

m \cdot \ddot{s} + D \cdot s = 0

Noch deutlicher wird der Charakter dieser “Differentialgleichung”, wenn man die Gleichung durch die Masse (m \ne 0) teilt:

(1)\ddot{s} + \frac{D}{m} \cdot s = 0

Diese Gleichung wird von jeder zeitabhängigen Funktion s(t) erfüllt, deren zweite zeitliche Ableitung der ursprünglichen Funktion bis auf einen konstanten Faktor identisch ist. Eine bekannte Funktion, die diese Bedingung erfüllt, ist die Sinus-Funktion. Ein Ansatz für den zeitlichen Verlauf der Auslenkung s kann somit folgendermaßen lauten:

(2)s = \sin{(\omega \cdot t)}

Dabei gibt \omega die so genannte “Oszillator-Frequenz” an. Sie erinnert an die Winkelgeschwindigkeit einer kreisförmigen Bewegung, denn multipliziert mit der Zeit t beschreibt sie den Ort, an dem sich der periodisch schwingende Körper gerade befindet.[1]

Bildet man für den Ansatz (2) s die erste und zweite zeitliche Ableitung der Sinus-Funktion, so erhält man unter Berücksichtigung der Kettenregel:

\dot{s} &= \phantom{+} \omega \cdot \cos{(\omega \cdot t)} \\[10pt]
\ddot{s} &= - \omega ^2 \cdot \sin{(\omega \cdot t)}

Die zweite zeitliche Ableitung \ddot{s} ist somit mit der ursprünglichen Sinus-Funktion (2), welche die Auslenkung s beschreibt, bis auf einen Faktor - \omega ^2 identisch:

\ddot{s} = - \omega^2 \cdot s

Dieses Ergebnis kann direkt in Gleichung (1) eingesetzt werden. Es folgt:

(3)- \omega^2 \cdot s + \frac{D}{m} \cdot s = 0

Auf der linken Seite kann s ausgeklammert werden. Es ergibt sich:

\left(-\omega^2 + \frac{D}{m} \right) \cdot s = 0

Diese Gleichung ist einerseits erfüllt, wenn s = 0 gilt, der Körper sich also in der Ruhelage befindet. Andererseits gilt das Gleichheitszeichen für jede beliebige Auslenkung, wenn der eingeklammerte Ausdruck als ganzes gleich Null ist. Somit gilt:

-\omega^2 + \frac{D}{m} = 0

und damit:

(4)\omega^2 = \frac{D}{m} \quad \Leftrightarrow \quad \omega = \sqrt{\frac{D}{m}}

Die Oszillator-Frequenz des schwingenden Pendelkörpers ist somit umso größer, desto größer die Federkonstante (“Härte”) D der Schraubenfeder ist. Andererseits schwingt der Oszillator umso schneller, desto geringer seine Masse m ist.

Die Weg-Zeit-Funktion s = \sin{(\omega \cdot t)} kann auch graphisch als Diagramm dargestellt werden. Es ergibt sich der für harmonische Schwingungen typische sinusförmige Verlauf. Je schneller der Pendelkörper schwingt, desto schmäler werden die “Berge und Täler” der Sinus-Kurve; je größer die maximale Auslenkung ist, desto höher bzw. tiefer liegen die Hoch- und Tiefpunkte.

Die Sinus-Funktion eignet sich als Ansatz, wenn der Pendelkörper zu Beginn in der Ruhelage ist und in dieser Position von außen “angestoßen” wird. Ist der maximal ausgelenkt und wird von dieser Position aus losgelassen, so ist die Kosinus-Funktion als Ansatz besser geeignet.

Die oben hergeleiteten Ergebnisse lassen sich beispielsweise auch auf die Schwingungen eines gefederten Fahrzeugs oder einer gefedert gelagerten Maschine (z.B. Waschmaschine) übertragen.

Das Fadenpendel

Auch Schwingungen eines Fadenpendels haben – bei nicht zu großer Auslenkung des Pendelkörpers – annähernd einen sinusförmigen Verlauf. Ist die Masse des Fadens vernachlässigbar klein und die Größe des Pendelkörpers klein im Vergleich zur Fadenlänge, so spricht man von einem mathematischen Pendel.

fig-fadenpendel

Schematischer Aufbau eines Fadenpendels.

Die rücktreibend wirkende Kraft einer Pendelschwingung lässt sich bestimmen, indem man die Gewichtskraft F_{\mathrm{G}} des Pendelkörpers in zwei Teilkräfte (längs und quer zur Schwingungsrichtung) zerlegt: Die Teilkraft F_{\mathrm{S}} in Seilrichtung hält den Faden gespannt, die Teilkraft F_{\mathrm{R}} in Schwingungsrichtung entspricht der rücktreibenden Kraft. Ist der Auslenkungswinkel \varphi klein, so ist die Länge s^{*} des Kreisbogens näherungsweise gleich dem waagrechten Abstand s des Pendelkörpers von der Ruhelage.[2]

Für die rücktreibende Kraft F_{\mathrm{R}} gilt mit \sin{(\varphi)} = \frac{s}{l}:

F_{\mathrm{R}} &= F_{\mathrm{G}} \cdot \sin{(\varphi)} = m \cdot g \cdot
\frac{s}{l} = \frac{m \cdot g}{l} \cdot s

Der Term \frac{m \cdot g}{l} hat somit die gleiche Bedeutung für das Fadenpendel wie die Federhärte D für das Federpendel. Man bezeichnet ihn daher auch als “Richtgröße” D eines mathematischen Pendels. Man kann also wiederum schreiben:

F = m \cdot \ddot{s} = \frac{m \cdot g}{l} \cdot s \\
\Rightarrow \ddot{s} = \frac{g}{l} \cdot s

Für die Oszillatorfrequenz eines mathematischen Pendels gilt somit nach den Gleichungen (3) und (4):

(5)\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}

Experimentell bestätigt sich, dass die Schwingungsfrequenz eines Fadenpendels zwar von der Länge l des Pendels, aber nicht von der Masse des Pendelkörpers abhängig ist. Bei kleinen Auslenkungen (\varphi < 10
\degree) ist die Frequenz bzw. Schwingungsdauer zudem unabhängig von der Amplitude.

Pendel, bei denen die obigen Bedingungen erfüllt sind, nennt man Fadenpendel oder auch mathematische Pendel. Im Gegensatz dazu bezeichnet man beliebige, drehbar aufgehängte Gegenstände als physikalische Pendel.

Das physikalische Pendel

Führt ein beliebiges, drehbar gelagertes Objekt Schwingungsbewegungen aus, so können diese bei nur kleinen Auslenkungen und bei Vernachlässigung des Luftwiderstands ebenfalls als harmonische Schwingungen beschrieben werden.

fig-physikalisches-pendel

Schematischer Aufbau eines Physikalischen Pendels.

Die rücktreibende Größe ist in diesem Fall das Drehmoment \vec{M} =
\vec{s} \times \vec{F}_{\mathrm{G}} des Körperschwerpunkts bezüglich der Drehachse; dabei bezeichnet s den horizontalen Abstand des Schwerpunkts von der Ruhelage. Bei einem kleinen Auslenkungswinkel \varphi kann für den Betrag des Drehmoments folgendes geschrieben werden:

M = - s \cdot F_{\mathrm{G}} = - s \cdot m \cdot g \approx  - (l \cdot \varphi) \cdot
m \cdot g = - l \cdot m \cdot g \cdot \varphi

Hierbei wurde die Näherung s = l \cdot \sin{(\varphi)} \approx l \cdot
\varphi verwendet; das negative Vorzeichen berücksichtigt die Auslenkung in negative x-Richtung. Für das Drehmoment M gilt allerdings ebenso folgender Zusammenhang:

M = J \cdot \alpha = J \cdot \ddot{\varphi}

Hierbei steht J für das Trägheitsmoment des schwingenden Gegenstands bezüglich dem Aufhängengepunkt und \alpha =
\ddot{\varphi} für die Winkelbeschleunigung. Setzt man beide Terme gleich, erhält man folgende Differentialgleichung:

J \cdot \ddot{\varphi} = -(m \cdot g \cdot l) \cdot \varphi

Wählt man als Lösung der Differentialgleichung wiederum \varphi =
\sin{(\omega \cdot t)}, so gilt wegen \ddot{\varphi} = -\omega^2 \cdot
\sin{(\omega \cdot t)} = - \omega^2 \cdot \varphi:

- J \cdot \omega^2 \cdot \varphi = -(m \cdot g \cdot l) \cdot \varphi

Für \varphi \ne 0 ergibt sich damit für die Oszillator-Frequenz \omega eines physikalischen Pendels:

(6)J \cdot \omega ^2 = m \cdot g \cdot l \quad \Leftrightarrow \quad \omega =
\sqrt{\frac{m \cdot g \cdot l}{J}}

Die Oszillator-Frequenz \omega eines physikalischen Pendels hängt somit von der Masse des schwingenden Objekts, der Lage seines Schwerpunkts sowie von seinem Trägheitsmoment bezüglich dem Aufhängepunkt ab. Bei dieser Frequenz sind ebenfalls Resonanz-Effekte am stärksten ausgeprägt.

In den obigen Gleichungen wurde mit J jeweils das Trägheitsmoment des physikalischen Pendels um seinen Aufhängepunkt bezeichnet. Nach dem Satz von Steiner gilt für dieses J = J_{\mathrm{S}} + m
\cdot a^2, wobei J_{\mathrm{S}} für das Trägheitsmoment des Gegenstands bei einer Rotation um seinen Schwerpunkt und a für den Abstand des Schwerpunkts von der Drehachse steht. Mit a=l ergibt sich damit folgende Gleichung für das Trägheitsmoment J_{\mathrm{S}} des schwingenden Gegenstands:

J_{\mathrm{S}} + m \cdot l^2 = \frac{m \cdot g \cdot l}{\omega^2}

Diese Gleichung kann noch mit Hilfe der Beziehung \omega = \frac{2 \cdot
\pi}{T} zwischen der Winkelgeschwindigkeit \omega und der Schwingungsdauer T umformuliert werden. Es ergibt sich damit folgende Gleichung:

J_{\mathrm{S}} &= \frac{m \cdot g \cdot l}{\omega^2} - m \cdot l^2 \\
&= m \cdot \left(\frac{g \cdot l}{\frac{4 \cdot \pi^2}{T^2}} - l^2\right)\\
&= m \cdot l^2 \cdot \left(\frac{g \cdot T^2}{4 \cdot \pi^2 \cdot l} -
1\right)

Diese Gleichung kann beispielsweise zur experimentellen Bestimmung des Trägheitsmoments eines Gegenstands genutzt werden kann, da alle darin vorkommenden Größen konstant oder leicht messbar sind.

Energiebilanz beim Feder- und Fadenpendel

Die Beziehung zwischen der Geschwindigkeit v des Pendelkörpers bei einer harmonischen Schwingung und der Winkelgeschwindigkeit (“Kreisfrequenz”) \omega einer ebenso “schnellen” Rotationsbewegung kann auch ohne Differentialrechnung hergeleitet werden, wenn man die Energiebilanz der Schwingung betrachtet. Nach dem Energie-Erhaltungssatz ist die maximale kinetische Energie (beim Durchgang durch die Ruhelage) gleich der maximalen potentiellen Energie (am Umkehrpunkt). Bei einem Federpendel ist E
_{\mathrm{pot}} = E_{\mathrm{spann}} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2, wobei D die Federhärte und s die Auslenkung bezeichnet. Es gilt also:

E_{\mathrm{kin,max}} &= E_{\mathrm{pot,max}} \\
\frac{1}{2} \cdot  m \cdot v^2 &= \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2 \\
\Rightarrow v &= \sqrt{\frac{D}{m}} \cdot s

Vergleicht man diesen Zusammenhang mit der Gleichung v = \omega \cdot r, so entspricht der Radius r der Kreisbewegung der Auslenkung s aus der Ruhelage. Der Term \sqrt{\frac{D}{m}} hingegen entspricht der Winkelgeschwindigkeit \omega.

fig-fadenpendel-energiebilanz

Skizze zur Herleitung der Energiebilanz bei einem Fadenpendel.

Bei einem Fadenpendel ergeben sich harmonische Schwingungen in guter Näherung wiederum nur für kleine Winkel, für die die Näherung \sin{\varphi}
\approx \varphi gilt. In diesem Fall können, wie in der obigen Abbildung zu sehen, zwei Winkelbeziehungen verwendet werden:

\varphi \approx \sin{(\varphi)} = \frac{s}{l}

und:

\frac{\varphi}{2} \approx \sin{(\frac{\varphi}{2})} \approx \frac{h}{s}

Löst man die zweite Gleichung nach \varphi auf, so erhält man \varphi \approx \frac{2 \cdot h}{s}. Dieser Ausdruck kann mit der ersten Gleichung gleichgesetzt werden. Aufgelöst nach h erhält man folgende Näherung:

\frac{s}{l} = \frac{2 \cdot h}{s} \quad \Longleftrightarrow \quad h =
\frac{1}{2} \cdot \frac{s^2}{l}

Setzt man diesen Ausdruck für h in die Energiegleichung ein, erhält man:

E_{\mathrm{kin,max}} &= E_{\mathrm{pot,max}} \\
\frac{1}{2} \cdot  m \cdot v^2 &= m \cdot g \cdot h \\
\frac{1}{2} \cdot  m \cdot v^2 &= m \cdot g \cdot \frac{s^2}{2\cdot l} \\
\Rightarrow v &= \sqrt{\frac{g}{l}} \cdot s

Bei dieser entspricht nun der Term \sqrt{\frac{g}{l}} der Winkelgeschwindigkeit \omega; die Näherung gilt allerdings nur für kleine Auslenkungen.

Zeitliche Änderung von Auslenkung und Geschwindigkeit

Sowohl die Auslenkung s wie auch die Geschwindigkeit v haben bei Schwingungsvorgängen sich periodisch ändernde Werte. Der zeitliche Verlauf hängt von der Anfangsbedingung ab. Befindet sich ein Pendel zum Zeitpunkt t=0 in der Ruhelage und bewegt sich dabei mit einer Geschwindigkeit v > 0 auf einen Umkehrpunkt zu, so kann im Fall einer harmonischen Schwingung die Auslenkung zu einem beliebigen späteren Zeitpunkt t mittels der Sinus-Funktion beschrieben werden:

s(t) = s_{\mathrm{max }} \cdot \sin{(\varphi)} = s_{\mathrm{max }} \cdot
\sin{(\omega \cdot t)}

Hierbei ist wiederum die Vorstellung entscheidend, dass jede harmonische Schwingung mit einer Bewegung eines bestimmten Punktes auf einer Kreisscheibe verglichen werden kann. Beginnt die Schwingung nicht bei der Ruhelage, sondern an einem anderen Punkt, so muss zusätzlich eine “Phasenverschiebung” um einen Winkel von \varphi_0 berücksichtigt werden. Es gilt also allgemein:

s(t) = s_{\mathrm{max}} \cdot \sin{(\omega \cdot t + \varphi_0)}

Ist im Speziellen \varphi_0 = 90 \degree = \frac{\pi}{2}, so ist die verschobene Sinus-Funktion mit der entsprechenden Cosinus-Funktion identisch:

\sin{(\omega \cdot t + \frac{\pi}{2})} = \cos{(\omega \cdot t)}

Beginnt die Schwingung also zum Zeitpunkt t=0 an einem Umkehrpunkt und hat hierbei die Geschwindigkeit v(t_0)=0, so ist beispielsweise die Cosinus-Funktion für die Beschreibung der zeitlichen Änderung der Auslenkung besser geeignet.

Sowohl die Sinus- wie auch die Cosinus-Funktion haben eine Periode von 2
\cdot \pi. Löst man die Beziehung \omega = \frac{2 \cdot \pi}{T_0} nach der Schwingungsdauer T_0 auf, so erhält man für t=T_0 tatsächlich wieder den gleichen Wert wie für t=0.

Beginnt die Schwingung beispielsweise an einem der Umkehrpunkte, so wird nach \frac{1}{4} \! \cdot \! T_0 zum ersten mal die Ruhelage durchlaufen. Setzt man diesen Wert für t in die Gleichung s(t) = \cos{(\omega \cdot t)} ein, so erhält man wegen T_0 = \frac{2 \cdot \pi}{\omega} nach \frac{2}{4} \! \cdot \! T_0 wird der andere Umkehrpunkt erreicht. Nach \frac{3}{4} \! \cdot \! T_0 wird zum zweiten Mal die Ruhelage durchlaufen, bis das Pendel schließlich nach \frac{4}{4}\!\cdot \! T_0 wieder am Ausgangspunkt ankommt.

fig-schwingung-zeigerdarstellung

Zeigerdarstellung einer sinusförmigen Schwingung.

In der obigen Abbildung ist der zeitliche Verlauf der Phasenwinkel für ein horizontal schwingenden Pendels als so genanntes “Zeigerdiagramm” dargestellt. Diese Darstellung ist insbesondere praktisch, um mehrere Schwingungen gleichzeitig darzustellen: Unterschiedliche Zeigerlängen bedeuten verschiedene Amplituden, und unterschiedliche Winkelgeschwindigkeiten bedeuten verschiedene Frequenzen. Die einzelnen Schwingungszustände beziehungsweise Phasen sind zudem am Winkel des jeweiligen Zeigers zu erkennen.


Anmerkungen:

[1]

Bisweilen wird die Oszillator-Frequenz deshalb auch “Kreisfrequenz” genannt. Sie gibt an, welche Winkelgeschwindigkeit ein Punkt einer rotierenden Kreisscheibe haben müsste, damit seine Frequenz mit derjenigen des schwingenden Pendelkörpers übereinstimmt.

Da die Schwingungsfrequenz f des Pendels die Anzahl an Schwingungsvorgängen je Sekunde angibt, und für eine ganze Umdrehung der Kreisscheibe ein Winkel von 2 \cdot \pi nötig ist, muss die Kreisfrequenz \omega (gemessen in Rad je Sekunde) um genau diesen Faktor größer sein als die Frequenz f:

\omega = 2 \cdot \pi \cdot f

[2]Für den Auslenkungswinkel sollte \varphi < 10 \degree gelten; dann beträgt der relative Fehler \frac{s}{s ^{*}} zwischen dem waagrechten Abstand s = l \cdot \sin{(\varphi)} und der Länge des entsprechenden Kreisbogens s ^{*} = \frac{\varphi}{360 \degree} \cdot
2 \cdot \pi \cdot l weniger als 0,5\%.