Zufallsexperimente und Ereignisse¶
Experimente, die unter gleichen Bedingungen zu gleichen Ergebnissen führen, bezeichnet man als determiniert. Im Rahmen der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden hingegen meist zufällige Vorgänge betrachtet.
Zufallsexperimente
Als Experiment bezeichnet man allgemein einen Vorgang, der (zumindest prinzipiell) beliebig oft wiederholt werden kann. Dabei ist klar festgelegt, welche Messgröße beobachtet werden soll, jedes mögliche Ergebnis kann also eindeutig festgestellt werden. Eine einzelne Durchführung eines Experiments nennt man Versuch.
Ein Experiment, bei dem die Menge aller möglichen Ergebnisse bekannt ist, jedoch nicht das bei der Durchführung eines Versuchs tatsächlich eintretende Ergebnis, bezeichnet man als Zufallsexperiment.
Beispiel:
- In einer Urne befinden sich 50 gleichartige Kugeln mit den Nummern
. Eine Kugel wird blind gezogen und anschließend ihre Nummer notiert. Es können dabei 50 mögliche Ergebnisse auftreten, wobei die Nummer der gezogenen Kugel
genannt wird.
Für die einzelnen Versuchsergebnisse werden üblicherweise Kurzbezeichnungen
eingeführt, beispielsweise für das Ergebnis „Die gezogene Kugel hat
die Nummer
„. Alle möglichen Versuchsergebnisse fasst man zu einer so
genannten Ergebnismenge
zusammen. Im obigen Fall gilt
beispielsweise:
Die einzelnen, voneinander verschiedenen Ergebnisse eines Zufallsexperiments
werden allgemein mit bezeichnet. Allgemein
besteht eine Ergebnismenge also aus folgenden Elementen:
Mehrstufige Zufallsexperimente
Einstufige Zufallsexperimente, wie beispielsweise das Ziehen einer Kugel aus einer Urne, können zu mehrstufigen Zufallsexperimenten zusammengesetzt werden. Hierbei wird das zu Grunde liegende einstufige Zufallsexperiment mehrfach ausgeführt.
Beispiel:
Eine Münze wird zweimal geworfen. Bei jedem Wurf kann entweder das Ergebnis „Kopf“
oder „Zahl“
eintreten. Insgesamt lassen sich die möglichen Versuchsergebnisse durch ein Tupel zweier Werte beschreiben. Für die Ergebnismenge gilt in diesem Fall also:
Die Ergebnismenge im obigen Beispiel lässt sich auch als Produktmenge der Ergebnismengen eines
einmaligen Werfens einer Münze darstellen. Allgemein lässt sich ein
-stufiges Zufallsexperiment mit Hilfe von geordneten Zahlenpaaren der
Länge
(so genannten „
-Tupeln“) beschreiben.
Eine Ergebnismenge kann durch einen so genannten Ergebnisbaum veranschaulicht werden. Jedem Ergebnis entspricht dabei einem Weg durch den Ergebnisbaum.
Ereignisse
Ereignisse werden formal durch Teilmengen von beschrieben.
Beispiel:
Eine Urne enthält
Kugeln, wobei je zwei Kugeln mit den Nummern
und je eine Kugel mit den Nummern
vorkommen. Es wird eine Kugel blind gezogen und ihre Nummer notiert, die Ergebnismenge ist also
.
Fasst man das Zufallsexperiment als Glücksspiel auf, bei dem man gewinnt, wenn eine Nummer
gezogen wird, so tritt dieses Ereignis genau dann ein, wenn die gezogene Nummer gleich
oder
ist, das Versuchsergebnis also zur Menge
gehört. Das Ereignis ist also durch die Menge
eindeutig beschrieben.
Allgemein beschreibt jede Teilmenge von
ein Ereignis.
Ist die Teilmenge mit
identisch
, so spricht
man von einem sicheren Ereignis, ist die Teilmenge gleich der leeren Menge
, so handelt es sich um ein unmögliches Ereignis.
Beinhaltet die Teilmenge genau ein Element
, so nennt man das
Ereignis elementar.[1]
Die Menge aller möglichen Ereignisse, also die Menge aller Teilmengen von
, heißt Ereignismenge
.[2]
Da es sich bei Ereignissen um Mengen handelt, können diese ebenfalls durch Mengenoperationen miteinander verknüpft werden:
- Betrachtet man die Schnittmenge
zweier Ereignisse, so spricht man von einem UND-Ereignis (
und
).
- Betrachtet man die Vereinigungsmenge
zweier Ereignisse, so spricht man von einem ODER-Ereignis (
und
).
- Betrachtet man die Komplementmenge
eines Ereignisses, so spricht man von einem Gegenereignis (nicht
).
Durch Bildung von Vereinigungs-, Schnitt- und Komplementmengen lassen sich nach den Rechenregeln der Mengenlehre weitere Ereignisse formulieren beziehungsweise Beschreibungen von Ereignissen vereinfacht werden.
Können zwei Ereignisse und
nicht gleichzeitig eintreten,
ist also
, so nennt man die Ereignisse
unvereinbar. Dies ist stets bei einem Ereignis
und dem entsprechenden
Gegenereignis
der Fall, es sind jedoch auch weitere Fälle
möglich.
Beispiel:
Ein Würfel wird zweimal geworfen und jeweils die Augenzahl notiert. Dabei werden folgende Ereignisse betrachtet:
: „Die Summe der Augenzahlen ist gleich
„, also
.
: „Pasch: Die beiden Augenzahlen sind gleich“, also
.
In diesem Beispiel gilt
, die Ergeignisse sind also unvereinbar.
Anmerkungen:
[1] | Zwischen dem Ergebnis ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
[2] | In der Mengenlehre bezeichnet man ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Hinweis
Zu diesem Abschnitt gibt es Übungsaufgaben.