Wahrscheinlichkeitsmaße¶
Die relative Häufigkeit¶
Um die relative Häufigkeit eines Ereignisses bei einem
Zufallsexperiment zu bestimmen, wird dieses
mal durchgeführt und
gezählt, wie oft das Ereignis
eintritt. Die relative Häufigkeit
ist dabei folgendermaßen definiert:
Die Größe wird dabei „absolute“ Häufigkeit des Ereignisses
genannt und gibt an, wie häufig das Ereignis
bei dem
Zufallsexperiment insgesamt eingetreten ist.
Bei großen Versuchszahlen gilt für die relative Häufigkeit das so genannte
Gesetz der großen Zahlen: Die relative Häufigkeit eines
Ereignisses
weicht bei einem genügend großen Wert von
nur
wenig von einem bestimmten, für das Ereignis charakteristischen Wert ab.
Besteht die Menge aus den Elementen
, so gilt für die relative Häufigkeit bei einer Reihe von
Versuchen:
Die relative Häufigkeit von ist also gleich der Summe der relativen
Häufigkeiten aller Elementarereignisse, die in
enthalten sind.
Allgemein gilt für die relative Häufigkeit stets ,
wobei
für ein unmögliches und
für ein
sicheres Ereignis gilt. Sind zudem zwei Ereignisse
und
unvereinbar, d.h. gilt
, so gilt
.
Die Wahrscheinlichkeit¶
Als Wahrscheinlichkeit bezeichnet man ein Maß für das Eintreten eines
Ereignisses .
Prinzipiell kann nach dem empirischen Gesetz der großen Zahlen für die Wahrscheinlichkeit folgende Festsetzung genutzt werden:
In der Praxis lassen sich jedoch stets nur eine begrenzte Zahl an
Versuchen durchführen. Man definiert den Wahrscheinlichkeitsbegriff daher
über folgende Axiome:
Definition:
Eine Abbildung der Form
heißt Wahrscheinlichkeitsmaß, wenn folgende Eigenschaften („Axiome von Kolmogoroff“) erfüllt sind:
Nichtnegativität: Für alle
gilt:
Normiertheit: Ist
, so gilt:
Additivität: Für
gilt:
Die Additivität gilt auch für mehrere Ereignisse
, wenn diese paarweise unvereinbar sind, d.h. wenn
für
gilt.
Die Zahl wird dabei als Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
bezeichnet.
Zu einem Zufallsexperiment sind beliebig viele unterschiedliche
Wahrscheinlichkeitsmaße denkbar. Welches Maß dabei das „Richtige“ ist, hängt
von den physikalischen Gegebenheiten des Experiments ab. Bei einem „normalen“
Würfel erwartet man beispielsweise, dass die Wahrscheinlichkeit für
jede Augenzahl gleich
ist; hat der Würfel jedoch kleine
Unregelmäßigkeiten, so können diese zur Folge haben, dass nicht mehr alle
Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind.
Zusätzlich zu den obigen Axiomen gelten als Folgerungen einige weitere Eigenschaften für Wahrscheinlichkeitsmaße:
- Ist
die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
, so ist
die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses
.[1]
- Ist
, so gilt
. Diese Eigenschaft wird auch „Monotonieregel“ genannt.[2]
- Es gilt stets:
. Diese Eigenschaft wird auch „Zerlegungsregel“ genannt.[3]
- Es gilt stets:
Diese Eigenschaft wird auch „Additionsregel“ genannt.[4]
Wahrscheinlichkeit bei Laplace-Experimenten
Sind alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich, so bezeichnet man das Zufallsexperiment als „Laplace-Experiment“. Wahrscheinlichkeiten, die unter dieser Annahme berechnet werden, nennt man entsprechend „Laplace-Wahrscheinlichkeiten“.
Hat ein Laplace-Experiment Elementarereignisse, d.h. ist
, so gilt
für jedes
Elementarereignis
. Für ein Ereignis
mit
gilt
entsprechend:
Um die Anzahl der günstigen und der möglichen Ergebnisse zu bestimmen, werden üblicherweise Methoden aus der Kombinatorik genutzt.
Anmerkungen:
[1] | Dass diese Gleichung gilt, folgt aus ![]() |
[2] | Dass diese Gleichung gilt, lässt sich wegen Wegen |
[3] | Diese Eigenschaft ergibt sich aus ![]() ![]() |
[4] | Diese Eigenschaft gilt wegen ![]() ![]() |