Determinanten

Determinanten stellen neben dem Gaussschen Lösungsverfahren ein weiteres nützliches Werkzeug im Umgang mit linearen Gleichungssystemen dar. Sie ermöglichen unter anderem eine verhältnismäßig einfache und schnelle Untersuchung, ob ein lineares Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt oder nicht.

Zweireihige Determinanten

Um den Umgang mit Determinanten zu verdeutlichen, werden im folgenden Abschnitt zunächst wiederum lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten betrachtet. Diese lassen sich im Allgemeinen in folgender Form darstellen:

a_{\mathrm{11}} \cdot x_1 + a_{\mathrm{12}} \cdot x_2 &= b_1 \\
a_{\mathrm{21}} \cdot x_1 + a_{\mathrm{22}} \cdot x_2 &= b_2 \\

Allgemein kann ein solches Gleichungssystem gelöst werden, indem man beispielsweise die erste Gleichung mit a_{22} und die zweite Gleichung mit a_{\mathrm{12}} multipliziert. Es folgt:

a_{\mathrm{11}} \cdot a_{\mathrm{22}} \cdot x_1 + a_{\mathrm{12}} \cdot
a_{\mathrm{22}} \cdot x_2 &=  b_1 \cdot a_{\mathrm{22}} \\
a_{\mathrm{12}} \cdot a_{\mathrm{21}} \cdot x_1 + a_{\mathrm{12}} \cdot
a_{\mathrm{22}} \cdot x_2 &=  b_2 \cdot a_{\mathrm{12}}

In dieser Form sind die Koeffizienten von x_2 in beiden Gleichungen identisch. Subtrahiert man die zweite Gleichung von der ersten, so erhält man eine einzelne Gleichung für x_1:

a_{\mathrm{11}} \cdot a_{\mathrm{22}} \cdot x - a_{\mathrm{12}} \cdot
a_{\mathrm{21}} \cdot x_1 &= b_1 \cdot a_{\mathrm{22}} - b_2 \cdot
a_{\mathrm{12}} \\
x_1 \cdot (a_{\mathrm{11}} \cdot a_{\mathrm{22}} - a_{\mathrm{12}} \cdot
a_{\mathrm{21}}) &= b_1 \cdot a_{\mathrm{22}} - b_2 \cdot a_{\mathrm{12}}

Im zweiten Rechenschritt wurde auf der linken Seite x ausgeklammert. Ist die verbleibende Klammer ungleich Null, so erhält man als Lösung für x_1:

x_1 = \frac{ b_1 \cdot a_{\mathrm{22}} - b_2 \cdot a_{\mathrm{12}} }{
a_{\mathrm{11}} \cdot a_{\mathrm{22}} - a_{\mathrm{12}} \cdot
a_{\mathrm{21}} }

Nach dem gleichen Prinzip kann man im die erste Gleichung des ursprünglichen Gleichungssystems mit a_{\mathrm{11}} und die zweite Gleichung mit a_{\mathrm{21}} multiplizieren, um eine Bestimmungsgleichung für x_2 zu erhalten. Die Lösung lautet dabei:

x_2 = \frac{ b_2 \cdot a_{\mathrm{11}} - b_1 \cdot a_{\mathrm{21}} }{
a_{\mathrm{11}} \cdot a_{\mathrm{22}} - a_{\mathrm{12}} \cdot
a_{\mathrm{21}} }

Die Lösbarkeit des Gleichungssystems hängt also nur davon ab, ob für den Term (a_{\mathrm{11}} \cdot a_{\mathrm{22}} - a_{\mathrm{12}} \cdot a_{\mathrm{21}}) \ne
0 gilt. Die “Determinante” eines Gleichungssystems wird daher folgendermaßen definiert:

(1)\begin{vmatrix}
a_{\mathrm{11}} & a_{\mathrm{12}}  \\
a_{\mathrm{21}} & a_{\mathrm{22}}
\end{vmatrix} = a_{\mathrm{11}} \cdot a_{\mathrm{22}} - a_{\mathrm{12}}
\cdot a_{\mathrm{21}}

Das Ergebnis dieser Determinante lässt sich nach der so genannten “Regel von Sarrus” berechnen, indem man das Produkt der in der “Hauptdiagonale” stehenden Zahlen (von links oben nach rechts unten) bildet und davon das Produkt der in der “Nebendiagonalen” stehenden Zahlen (von links unten nach rechts oben) subtrahiert. Ist die resultierende Zahl ungleich Null, so ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar.

Die Lösungen für x_1 und x_2 lassen sich nach der so genannten Regel von Cramer ebenfalls in Determinanten-Schreibweise darstellen. Im Nenner steht dabei immer die eigentliche Determinante des Gleichungssystems, im Zähler wird die erste bzw. zweite Spalte der Determinante durch die rechte Seite der Gleichung ersetzt. Somit gilt:

(2)x_1 = \frac{\begin{vmatrix} b_1 & a_{\mathrm{12}} \\ b_2 &  a_{\mathrm{22}}
\end{vmatrix} }{\begin{vmatrix} a_{\mathrm{11}} & a_{\mathrm{12}}  \\ a_{\mathrm{21}}
& a_{\mathrm{22}} \end{vmatrix} }
\quad \text{und} \quad
x_2 = \frac{\begin{vmatrix}  a_{\mathrm{11}} & b_1 \\  a_{\mathrm{21}} &  b_2
\end{vmatrix} }{\begin{vmatrix} a_{\mathrm{11}} & a_{\mathrm{12}}  \\ a_{\mathrm{21}}
& a_{\mathrm{22}} \end{vmatrix} }

Dreireihige Determinanten

Determinanten lassen sich auch für Gleichungssysteme mit drei Gleichungen und drei Unbekannten definieren. In allgemeiner Form lässt sich ein solches Gleichungssystem folgendermaßen beschreiben:

a_{\mathrm{11}} \cdot x_1 + a_{\mathrm{12}} \cdot x_2 + a_{\mathrm{13}} \cdot x_3 &= b_1 \\
a_{\mathrm{21}} \cdot x_1 + a_{\mathrm{22}} \cdot x_2 + a_{\mathrm{23}} \cdot x_3 &= b_2 \\
a_{\mathrm{31}} \cdot x_1 + a_{\mathrm{32}} \cdot x_2 + a_{\mathrm{33}} \cdot x_3 &= b_3 \\

Entsprechend lässt sich hierfür eine Determinante in folgender Form definieren:

(3)\begin{vmatrix}
    a_{\mathrm{11}} & a_{\mathrm{12}} & a_{\mathrm{13}} \\
    a_{\mathrm{21}} & a_{\mathrm{22}} & a_{\mathrm{23}} \\
    a_{\mathrm{31}} & a_{\mathrm{32}} & a_{\mathrm{33}} \\
\end{vmatrix} &= \phantom{+}
a_{\mathrm{11}} \cdot a_{\mathrm{22}} \cdot a_{\mathrm{33}} +
a_{\mathrm{21}} \cdot a_{\mathrm{32}} \cdot a_{\mathrm{13}} +
a_{\mathrm{31}} \cdot a_{\mathrm{12}} \cdot a_{\mathrm{23}} \\[-10pt]
&\phantom{=} - a_{\mathrm{31}} \cdot a_{\mathrm{22}} \cdot a_{\mathrm{13}} -
a_{\mathrm{21}} \cdot a_{\mathrm{12}} \cdot a_{\mathrm{33}} -
a_{\mathrm{11}} \cdot a_{\mathrm{32}} \cdot a_{\mathrm{23}}

Wiederum lässt sich die Determinante nach der Regel von Sarrus berechnen, indem man die Produkte der in der “Hauptdiagonale” stehenden Zahlen (von links oben nach rechts unten) bildet und davon die Produkte der in der “Nebendiagonalen” stehenden Zahlen (von links unten nach rechts oben) subtrahiert. Ist die resultierende Zahl ungleich Null, so ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar.

fig-regel-von-sarrus

Merkhilfe zur Regel von Sarrus

Die Lösungen für x_1, x_2 und x_3 lassen sich ebenfalls nach der Regel von Cramer in Determinanten-Schreibweise darstellen. Im Nenner steht wiederum die eigentliche Determinante des Gleichungssystems, im Zähler wird die erste, zweite bzw. dritte Spalte der Determinante durch die rechte Seite der Gleichung ersetzt. Somit gilt:

(4)x_1 = \frac{\begin{vmatrix} b_1 & a_{\mathrm{12}} & a_{\mathrm{13}} \\ b_2 &
a_{\mathrm{22}} & a_{\mathrm{23}} \\ b_3 & a_{\mathrm{32}} & a_{\mathrm{33}} \end{vmatrix}
}{\begin{vmatrix} a_{\mathrm{11}} & a_{\mathrm{12}} & a_{\mathrm{13}} \\ a_{\mathrm{21}}
& a_{\mathrm{22}}  & a_{\mathrm{23}} \\ a_{\mathrm{31}} & a_{\mathrm{32}} & a_{\mathrm{33}}
\end{vmatrix} } \quad \text{und} \quad x_2 = \frac{\begin{vmatrix}
a_{\mathrm{11}} & b_1  & a_{\mathrm{13}}\\  a_{\mathrm{21}} &  b_2 & a
_{\mathrm{23}} \\ a_{\mathrm{31}} & b_2 & a_{\mathrm{33}} \end{vmatrix} }{\begin{vmatrix} a_{\mathrm{11}}
& a_{\mathrm{12}} & a_{\mathrm{13}} \\ a_{\mathrm{21}} & a_{\mathrm{22}}  & a_{\mathrm{23}}
\\ a_{\mathrm{31}} & a_{\mathrm{32}} & a_{\mathrm{33}} \end{vmatrix} } \quad
\text{und} \quad x_3 = \frac{\begin{vmatrix}  a_{\mathrm{11}} & a_{\mathrm{12}} &
b_1 \\  a_{\mathrm{21}} & a_{\mathrm{22}} &  b_2 \\ a_{\mathrm{31}} & a_{\mathrm{32}}
& b_3 \end{vmatrix} }{\begin{vmatrix} a_{\mathrm{11}} & a_{\mathrm{12}} & a
_{\mathrm{13}} \\ a_{\mathrm{21}} & a_{\mathrm{22}}  & a_{\mathrm{23}} \\ a_{\mathrm{31}} &
a_{\mathrm{32}} & a_{\mathrm{33}} \end{vmatrix} }

Mehrreihige Determinanten

Auch Gleichungssysteme mit mehr als drei Gleichungen und Unbekannten lassen sich mit der obigen Determinantenmethode (Regel von Cramer) lösen. Dazu müssen Determinanten mit n>3 Reihen berechnet werden. Möchte man für solche Determinanten eine allgemeine Lösungsregel angeben, so werden die dabei auftretenden Terme jedoch schnell unübersichtlich: Eine Erweiterung der Regel von Sarrus auf n-reihige Determinanten enthält allgemein n! Summanden, d.h. bei einer n=4-reihigen Determinante müssten bereits 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 Summanden ausgewertet werden , bei einer n=5-reihigen Determinante sogar 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3
\cdot 2 \cdot 1 = 120.

Einfacher ist es im allgemeinen, aus einer n-reihigen Determinante insgesamt n Determinanten mit (n-1) Reihen zu bilden. Dieses rekursive Entwlicklungsschema, das auch von Computer-Algebra-Systemen zur Berechnung beliebig großer Determinanten genutzt wird, soll hier am Beispiel einer vierreihigen Determinante vorgestellt werden.

Definition:

Streicht man in einer Determinante A eine beliebige Zeile i und eine beliebige Spalte j, so bezeichnet man die übrigbleibenden Elemente als Unterdeterminante D _{\mathrm{ij}}. Das Element a_{\mathrm{ij}}, das sich am Schnittpunkt beider Linien befindet, nennt man Schnittpunktelement.
fig-schnittpunktelement

Schnittpunktelement a_{\mathrm{23}} bei Streichung der zweiten Zeile und der dritten Spalte.

Definition:

Multipliziert man den Wert der Unterdeterminante D _{\mathrm{ij}} mit dem Faktor (-1) ^{i +j}, so spricht man von der zum Element a
_{\mathrm{ij}} adjungierten Unterdeterminante a_{\mathrm{ij}}:

(5)a_{\mathrm{ij}} = (-1) ^{i+j} \cdot D _{\mathrm{ij}}

Das Vorzeichen des Faktors (-1) ^{i+j} hängt von der Zeilen- und Spaltennummer von a_{\mathrm{ij}} ab; ist die Summe beider Zahlen gerade, so ist das Vorzeichen positiv, andernfalls negativ. Anschaulich kann man das Vorzeichen auch anhand einer schachbrettartigen Vorzeichentabelle ablesen.

fig-vorzeichen-schema

Vorzeichen-Schema für die Entwicklung von Unterdeterminanten

Mit den beiden obigen Definitionen kann der so genannte Entwicklungssatz von Leibniz folgendermaßen formuliert werden:

“Multipliziert man die Elemente einer beliebigen Reihe mit den jeweiligen adjungierten Unterdeterminanten und addiert die so entstehenden Produkte, so erhält man den Wert der Determinante.”

Es ist frei wählbar, nach welcher Reihe (Zeile oder Spalte) man eine Determinante entwickelt. Entwickelt man eine Determinante A nach der i-ten Reihe, so gilt:

A = \sum_{j=1}^{n} a_{\mathrm{ij}} \cdot a_{\mathrm{ij}}

Entwickelt man eine Determinante A hingegen nach der j-ten Reihe, so gilt:

A = \sum_{i=1}^{n} a_{\mathrm{ij}} \cdot a_{\mathrm{ij}}

Zweckmäßig ist es, für die Entwicklung eine Reihe zu wählen, die möglichst viele Nullen enthält.

Beispiel:

  • Folgende Determinante A mit n=4 Reihen soll berechnet werden:

    A = \begin{vmatrix}
\;\,\,1 & \;\,\,2 & \;\,\,3 & \;\,\, 0 \\ \;\,\, 0 & \;\,\,1 & \;\,\, 2 &
-1 \\ -1 & -2 & \;\,\, 3 & \;\,\, 2 \\ \;\,\,1 & \;\,\, 2 & \;\,\, 1 &
\;\,\, 0
\end{vmatrix}

    Zunächst wird die Determinante in Unterdeterminanten mit n=3 Reihen entwickelt. Vorteilhaft ist hierbei eine Entwicklung nach der vierten Spalte, da diese zwei Nullen enthält. Nach dem Leibnizschen Entwicklungssatz gilt:

    A = \begin{vmatrix}
\;\,\,1 & \;\,\,2 & \;\,\,3 & \;\,\, 0 \\ \;\,\, 0 & \;\,\,1 & \;\,\, 2 &
-1 \\ -1 & -2 & \;\,\, 3 & \;\,\, 2 \\ \;\,\,1 & \;\,\, 2 & \;\,\, 1 &
\;\,\, 0
\end{vmatrix} = - 0 \cdot \begin{vmatrix}
\;\,\, 0 & \;\,\, 1 & \;\,\, 2 \\ -1 & -2 & \;\,\, 3 \\ \;\,\, 1 & \;\,\,
2 & \;\,\, 1 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix}
\;\,\, 1 & \;\,\, 2 & \;\,\, 3 \\ -1 & -2 & \;\,\, 3 \\ \;\,\, 1 & \;\,\,
2 & \;\,\, 1 \end{vmatrix} - 2 \cdot  \begin{vmatrix}
\;\,\, 1 & \;\,\, 2 & \;\,\, 3 \\ \;\,\, 0 & \;\,\, 1 & \;\,\, 2 \\ \;\,\, 1 & \;\,\,
2 & \;\,\, 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot  \begin{vmatrix} \;\,\, 1 & \;\,\, 2
& \;\,\, 3 \\ \;\,\, 0 & \;\,\, 1 & \;\,\, 2 \\ -1 & -2 & \;\,\, 3
\end{vmatrix}

    Alle Determinanten liefern reelle Zahlen als Ergebnisse; mit Null multipliziert ergeben sie ebenfalls Null. Es müssen somit nur die zweite und die dritte Unterdeterminante ausgewertet werden. Hierzu kann die Regel von Sarrus genutzt werden:

    A &= (-1) \cdot \begin{vmatrix}
\;\,\, 1 & \;\,\, 2 & \;\,\, 3 \\
-1 & -2 & \;\,\, 3 \\
\;\,\, 1 & \;\,\, 2 & \;\,\, 1
\end{vmatrix} - 2 \cdot  \begin{vmatrix}
\;\,\, 1 & \;\,\, 2 & \;\,\, 3 \\
\;\,\, 0 & \;\,\, 1 & \;\,\, 2 \\
\;\,\, 1 & \;\,\, \;\,\, 1 & \;\,\, 2 & \;\,\, 1 \end{vmatrix} \\[5pt]
&= (-1) \cdot \qquad \quad \;  0 \qquad \; - 2 \cdot \qquad (-2) \qquad  \quad = 4

    Die Determinante A hat somit den Wert 4.

Um ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und Unbekannten zu lösen, müssen neben der Determinante A der Koeffizienten a_{\mathrm{ij}} auch die n Determinanten A _j berechnet werden, die sich ergeben, wenn man die j-te Spalte von A durch die Ergebnisspalte b ersetzt. Für die Lösung x_{\mathrm{j}} gilt dann mit j = 1 , \ldots, n:

x_{\mathrm{j}} = \frac{ a_{\mathrm{j}} }{A}

Voraussetzung ist bei dieser allgemeinen Regel von Cramer wiederum, dass die Determinante A der Koeffizienten ungleich Null ist.