Dreiecke

Allgemeine Eigenschaften

Dreiecke bestehen aus den Verbindungsstrecken zwischen drei Punkten \mathrm{A}, \mathrm{B} und \mathrm{C}, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Die den Punkten jeweils gegenüber liegenden Strecken werden kurz als a, b und c, die Innenwinkel als \alpha, \beta und \gamma bezeichnet. Die Nebenwinkel \alpha ^{*}, \beta ^{*} und \gamma ^{*} der Innenwinkel heißen Außenwinkel.

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Aufbau eines allgemeinen Dreiecks.

Legt man durch \mathrm{C} eine Parallele zu Strecke \overline{\mathrm{AB}}, so sind \alpha und \alpha' sowie \beta und \beta' als Wechselwinkel gleich groß. Gemeinsam mit dem Winkel \gamma bilden \alpha' und \beta' einen \unit[180]{\degree}-Winkel. Die Summe der Innenwinkel \alpha, \beta und \gamma ist somit ebenfalls stets \unit[180]{\degree}:

(1)\alpha + \beta + \gamma = \unit[180]{\degree}

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Die Innenwinkel eines Dreiecks addieren sich zu 180\degree.

Die Außenwinkel sind jeweils so groß wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel. Dies folgt beispielsweise für den Winkel \alpha ^{*} aus Gleichung (1) wegen \alpha ^{*}  = 180\degree - \alpha =
\beta + \gamma. Insgesamt gilt:

(2)\alpha ^* = \beta + \gamma \\
\beta ^* = \gamma + \alpha \\
\gamma ^* = \alpha + \beta \\

Die Summe der Außenwinkel eines Dreiecks beträgt 360 \degree. Weiterhin gelten in allen Dreiecken drei weitere Beziehungen:

  • Die Summe zweier Seitenlängen ist stets größer als die Länge der dritten Seite. Es gelten somit folgende Ungleichungen:

    a + b > c \quad ; \quad b + c > a \quad ; \quad c + a > b

  • Die Differenz zweier Seitenlängen ist stets kleiner als die Länge der dritten Seite. Somit gilt:

    | a - b | < c \!\quad ; \quad\!\! | b - c | < a \!\!\quad ; \quad\! | c -
a | < b

  • In jedem Dreieck liegen die größeren Seiten den größeren Winkeln gegenüber.
    Umgekehrt liegen die größeren Winkel den größeren Seiten gegenüber. Es gilt somit beispielsweise:

    a > b \; \Rightarrow \; \alpha > \beta

Kongruenz und Ähnlichkeit

Zwei Dreiecke sind dann kongruent, wenn sie eine der folgenden Bedingungen erfüllen:

  • Übereinstimmung dreier Seiten (SSS)
  • Übereinstimmung zweier Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel (SWS)
  • Übereinstimmung zweier Seiten und dem der größeren Seite gegenüber liegenden Winkel (SSW)
  • Übereinstimmung einer Seite und zweier Winkel – entweder den beiden anliegenden Winkeln oder einem anliegenden und einem gegenüber liegenden Winkel (WSW beziehungsweise SWW)

Die obigen Kongruenzbedingungen werden einerseits für geometrische Beweise genutzt, können jedoch auch zur eindeutigen Festlegung von Dreiecken verwendet werden.

Zwei Dreiecke sind dann einander ähnlich, wenn sie eine der folgenden Bedingungen erfüllen:

  • Gleiche Längenverhältnisse aller drei Seiten
  • Gleiche Längenverhältnisse zweier Seiten und Übereinstimmung des von ihnen eingeschlossenen Winkels
  • Gleiche Längenverhältnisse zweier Seiten und Übereinstimmung des der größeren Seite gegenüber liegenden Winekls
  • Übereinstimmung zweier Winkel

Beispielsweise lassen sich die Zentrische Streckung oder die Strahlensätze auf Ähnlichkeiten von Dreiecken zurückführen.

Besondere Punkte im Dreieck

In jedem Dreieck gibt es vier besondere Punkte, die sich durch bestimmte Transversalen, d.h. durch das Dreieck verlaufende Geraden, konstruieren lassen. Alle diese Punkte liegen auf einer gemeinsamen Geraden, die auch “Eulersche Gerade” genannt wird.

Der Schwerpunkt

Verbindet man jeden Eckpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüber liegenden Dreiecksseite, so schneiden sich diese “Seitenhalbierenden” in einem gemeinsamen Punkt \mathrm{S}, der Schwerpunkt des Dreiecks genannt wird.

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Schwerpunkt eines Dreiecks.

Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden jeweils im Verhältnis 2:1. Es bestehen also folgende Proportionen:

\frac{\overline{\mathrm{AS}}}{\overline{\mathrm{SM_a}}} =
\frac{\overline{\mathrm{BS}}}{\overline{\mathrm{SM_b}}} =
\frac{\overline{\mathrm{CS}}}{\overline{\mathrm{SM_c}}} = \frac{2}{1}

Der Mittelpunkt

Zeichnet man auf jeder Dreeicksseite den Mittelpunkt ein und konstruiert ausgehend von diesem eine senkrechte Gerade zur jeweiligen Dreiecksseite, so schneiden sich diese “Mittelsenkrechten” in einem gemeinsamen Punkt \mathrm{M}. Dieser Punkt wird Mittelpunkt des Dreeicks genannt und ist der Mittelpunkt des so genannten Umkreises, also des Kreises, der durch alle Eckpunkte des Dreiecks verläuft.

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Mittelpunkt eines Dreiecks.

Der Mittelpunkt des Inkreises

Konstruiert man zu jedem Innenwinkel eines Dreiecks die Winkelhalbierende, so schneiden sich diese in einem gemeinsamen Punkt \mathrm{W}. Dieser ist zugleich der Mittelpunkt des Inkreises, also des Kreises, der alle Strecken des Dreiecks berührt.

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Inkreis-Mittelpunkt eines Dreiecks.

Der Höhenschnittpunkt

Konstruiert man auf jeder Dreiecksseite eine Senkrechte durch den gegenüber liegenden Eckpunkt, so schneiden sich die drei Höhen in einem gemeinsamen Punkt H.

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Höhenschnittpunkt eines Dreiecks.

Besondere Dreiecke

Gleichseitiges Dreieck

In einem gleichseitigen Dreieck besitzen alle Seiten die gleiche Länge. Alle Winkel betragen \unit[60]{\degree}, die besonderen Punkte \mathrm{S}, \mathrm{M}, \mathrm{W} und \mathrm{H} sind in einem Punkt vereint.

fig-dreieck-gleichseitig

Grundform eines gleichseitigen Dreiecks.

Für die Fläche und den Umfang eines gleichseitigen Dreiecks gilt mit der Höhe h = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{3}:

\text{Fl\"ache} &= \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{a^4}{4} \cdot
\sqrt{3}  \\[10pt]
\text{Umfang} &= 3 \cdot a

Gleichschenkliges Dreieck

In einem gleichschenkligen Dreieck besitzen die zwei Seiten a und b die gleiche Länge. Die beiden “Basiswinkel” \alpha und \beta sind gleich groß. Ist ein Winkel bekannt, lassen sich die übrigen Winkel unmittelbar mit Hilfe der Beziehung 2 \cdot \alpha + \gamma = 180° bestimmen.

fig-dreieck-gleichschenklig

Grundform eines gleichschenkligen Dreiecks.

Für die Fläche und den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks gilt mit der Höhe h:

\text{Fl\"ache} &= \frac{1}{2} \cdot c \cdot h \\[10pt]
\text{Umfang} &= 2 \cdot a + c

Rechtwinkliges Dreieck

In einem rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel gleich \unit[90]{\degree}, die anderen beiden Winkel \alpha und \beta ergeben zusammen \unit[90]{\degree}.[1]

fig-dreieck-rechtwinklig

Grundform eines rechtwinkligen Dreiecks.

Für die Fläche und den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks gilt:[2]

\text{Fl\"ache} &= \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h
\\[10pt]
\text{Umfang} &= a + b + c

Der Satz von Pythagoras

Rechtwinklige Dreiecke weisen eine Besonderheit auf: Quadriert man die Längen der Dreieckseiten, so entspricht die Quadratzahl c^2 der längsten Dreieckseite (der “Hypothenuse”) genau der Summe der Quadratzahlen a^2 und b^2 der kürzeren Dreieckseiten (der “Katheten”).

(3)a^2 + b^2 = c^2

Diese als “Satz des Pythagoras” bekannt gewordene Gesetzmäßigkeit lässt sich graphisch dadurch veranschaulichen, indem man entlang der Hypothenuse c und den beiden Katheten a und b Quadrate mit den entsprechenden Seitenlängen zeichnet und die Flächeninhalte miteinander vergleicht: Die Flächen der beiden kleineren Quadrate a^2 und b^2 sind mit dem großen Quadrat c^2 flächengleich.

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Veranschaulichung des Satzes von Pythagoras für rechtwinklige Dreiecke.

Der Satz des Pythagoras erweist sich in der Praxis als nützlich, um zwei Bretter, Stangen o.ä. mit bekannten Längen a und b rechtwinklig zueinander anzuordnen. Löst man Gleichung (3) nach der Länge der Verbindungslinie c auf, so ergibt sich

a^2 + b^2 = c^2 \quad \Longleftrightarrow \quad c = \sqrt{a^2 + b^2}

Liegen die Eckpunkte \mathrm{A} und \mathrm{B} exakt um c=\sqrt{a^2 + b^2} voneinander entfernt, so beträgt der Winkel zwischen a und b genau \unit[90]{\degree}. Geeignet ist insbesondere das Längenverhältnis 3:4:5, da hierbei 3^2 + 4^2 = 9
+ 16 = 25 = 5^2 gilt; die Länge der Basis-Einheit kann frei gewählt werden.

fig-dreieck-rechtwinklig-pythagoras-konstruktionshilfe

Der Satz von Pythagoras als Konstruktionshilfe für rechte Winkel.

Höhen- und Kathetensatz

Im rechtwinkligen Dreieck gelten darüber hinaus zwei weitere Beziehungen:

fig-dreieck-rechtwinklig-hohensatz-kathetensatz

Der Katheten- und Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke.

  • Höhensatz:

    Das Produkt der beiden Hypothenusenteile p und q , die rechts und links der Höhe h liegen, ist gleich dem Quadrat der Höhe:

    h^2 = p \cdot q

  • Kathetensatz: Das Produkt einer Kathete ist gleich dem Produkt aus der Hypothenuse c und dem anliegenden Hypothenusenanteil:[3]

    a^2 &= c \cdot q \\[10pt]
b^2 &= c \cdot p

Diese beiden Gesetzmäßigkeiten wurden bereits von Euklid entdeckt. Sie beruhen darauf, dass die Dreiecke \mathrm{ABC} und die beiden durch die Höhe h entstehenden Dreiecke \mathrm{AH_cC} und \mathrm{H_cBC} zueinander ähnlich sind: Alle enthalten einen rechten Winkel und haben je eine Dreiecksseite gemeinsam, zudem haben alle Dreiecke wegen Gleichung (1) den Winkel \alpha gemeinsam.

Aufgrund der Ähnlichkeit sind die Verhältnisse der Seitenlängen gleich, es gilt beispielsweise für die Dreiecke \mathrm{H_cCB} und \mathrm{AH_cC} das Längenverhältnis \frac{p}{h} = \frac{h}{q}, das sich auch als h^2
= p \cdot q schreiben lässt und somit dem Höhensatz entspricht. Ebenso folgen die beiden Kathetensätze aus den Längenverhältnissen \frac{c}{a} =
\frac{a}{q} der Dreiecke \mathrm{ABC} und \mathrm{H_cBC} sowie \frac{c}{b} = \frac{b}{p} der Dreiecke \mathrm{ABC} und \mathrm{AH_cC}.

Weitere Eigenschaften

Auf weitere Zusammenhänge in Dreiecken wird im Abschnitt Trigonometrie näher eingegangen.


Anmerkungen:

[1]Gilt \alpha = \beta = 45°, so spricht man von einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck.
[2]Da die Seiten a und b senkrecht aufeinander stehen, stellen sie gegenseitig Basislinie und Höhe dar.
[3]

Der Kathetensatz von Euklid beinhaltet auch den Satz von Pythagoras. Addiert man nämlich die beiden Gleichungen a^2 = c \cdot q und b^2 = c \cdot p, so erhält man:

a^2 + b^2 = c \cdot q + c \cdot p = c \cdot (p + q) = c \cdot c = c^2