Dreiecke¶
Allgemeine Eigenschaften¶
Dreiecke bestehen aus den Verbindungsstrecken zwischen drei Punkten
,
und
, die nicht auf
einer gemeinsamen Geraden liegen. Die den Punkten jeweils gegenüber liegenden
Strecken werden kurz als
,
und
, die Innenwinkel als
,
und
bezeichnet. Die Nebenwinkel
,
und
der Innenwinkel
heißen Außenwinkel.
Legt man durch eine Parallele zu Strecke
, so sind
und
sowie
und
als Wechselwinkel gleich groß. Gemeinsam mit dem Winkel
bilden
und
einen
-Winkel. Die
Summe der Innenwinkel
,
und
ist somit
ebenfalls stets
:
(1)¶
Die Außenwinkel sind jeweils so groß wie die Summe der beiden nicht anliegenden
Innenwinkel. Dies folgt beispielsweise für den Winkel aus
Gleichung (1) wegen
. Insgesamt gilt:
(2)¶
Die Summe der Außenwinkel eines Dreiecks beträgt .
Weiterhin gelten in allen Dreiecken drei weitere Beziehungen:
Die Summe zweier Seitenlängen ist stets größer als die Länge der dritten Seite. Es gelten somit folgende Ungleichungen:
Die Differenz zweier Seitenlängen ist stets kleiner als die Länge der dritten Seite. Somit gilt:
- In jedem Dreieck liegen die größeren Seiten den größeren Winkeln gegenüber.Umgekehrt liegen die größeren Winkel den größeren Seiten gegenüber. Es gilt somit beispielsweise:
Kongruenz und Ähnlichkeit¶
Zwei Dreiecke sind dann kongruent, wenn sie eine der folgenden Bedingungen erfüllen:
- Übereinstimmung dreier Seiten (SSS)
- Übereinstimmung zweier Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel (SWS)
- Übereinstimmung zweier Seiten und dem der größeren Seite gegenüber liegenden Winkel (SSW)
- Übereinstimmung einer Seite und zweier Winkel – entweder den beiden anliegenden Winkeln oder einem anliegenden und einem gegenüber liegenden Winkel (WSW beziehungsweise SWW)
Die obigen Kongruenzbedingungen werden einerseits für geometrische Beweise genutzt, können jedoch auch zur eindeutigen Festlegung von Dreiecken verwendet werden.
Zwei Dreiecke sind dann einander ähnlich, wenn sie eine der folgenden Bedingungen erfüllen:
- Gleiche Längenverhältnisse aller drei Seiten
- Gleiche Längenverhältnisse zweier Seiten und Übereinstimmung des von ihnen eingeschlossenen Winkels
- Gleiche Längenverhältnisse zweier Seiten und Übereinstimmung des der größeren Seite gegenüber liegenden Winekls
- Übereinstimmung zweier Winkel
Beispielsweise lassen sich die Zentrische Streckung oder die Strahlensätze auf Ähnlichkeiten von Dreiecken zurückführen.
Besondere Punkte im Dreieck¶
In jedem Dreieck gibt es vier besondere Punkte, die sich durch bestimmte Transversalen, d.h. durch das Dreieck verlaufende Geraden, konstruieren lassen. Alle diese Punkte liegen auf einer gemeinsamen Geraden, die auch „Eulersche Gerade“ genannt wird.
Der Schwerpunkt
Verbindet man jeden Eckpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüber liegenden
Dreiecksseite, so schneiden sich diese „Seitenhalbierenden“ in einem gemeinsamen
Punkt , der Schwerpunkt des Dreiecks genannt wird.
Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden jeweils im Verhältnis .
Es bestehen also folgende Proportionen:
Der Mittelpunkt
Zeichnet man auf jeder Dreeicksseite den Mittelpunkt ein und konstruiert
ausgehend von diesem eine senkrechte Gerade zur jeweiligen Dreiecksseite, so
schneiden sich diese „Mittelsenkrechten“ in einem gemeinsamen Punkt
. Dieser Punkt wird Mittelpunkt des Dreeicks genannt und ist der
Mittelpunkt des so genannten Umkreises, also des Kreises, der durch alle
Eckpunkte des Dreiecks verläuft.
Der Mittelpunkt des Inkreises
Konstruiert man zu jedem Innenwinkel eines Dreiecks die Winkelhalbierende, so
schneiden sich diese in einem gemeinsamen Punkt . Dieser ist
zugleich der Mittelpunkt des Inkreises, also des Kreises, der alle Strecken des
Dreiecks berührt.
Der Höhenschnittpunkt
Konstruiert man auf jeder Dreiecksseite eine Senkrechte durch den gegenüber
liegenden Eckpunkt, so schneiden sich die drei Höhen in einem gemeinsamen Punkt
.
Besondere Dreiecke¶
Gleichseitiges Dreieck¶
In einem gleichseitigen Dreieck besitzen alle Seiten die gleiche Länge. Alle
Winkel betragen , die besonderen Punkte
,
,
und
sind in einem Punkt vereint.
Für die Fläche und den Umfang eines gleichseitigen Dreiecks gilt mit der Höhe
:
Gleichschenkliges Dreieck¶
In einem gleichschenkligen Dreieck besitzen die zwei Seiten und
die gleiche Länge. Die beiden „Basiswinkel“
und
sind gleich groß. Ist ein Winkel bekannt, lassen sich die übrigen
Winkel unmittelbar mit Hilfe der Beziehung
bestimmen.
Für die Fläche und den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks gilt mit der Höhe
:
Rechtwinkliges Dreieck¶
In einem rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel gleich
, die anderen beiden Winkel
und
ergeben zusammen
.[1]
Für die Fläche und den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks gilt:[2]
Der Satz von Pythagoras
Rechtwinklige Dreiecke weisen eine Besonderheit auf: Quadriert man die Längen
der Dreieckseiten, so entspricht die Quadratzahl der längsten
Dreieckseite (der „Hypotenuse“) genau der Summe der Quadratzahlen
und
der kürzeren Dreieckseiten (der „Katheten“).
(3)¶
Diese als „Satz des Pythagoras“
bekannt gewordene Gesetzmäßigkeit lässt sich graphisch dadurch
veranschaulichen, indem man entlang der Hypotenuse und den beiden
Katheten
und
Quadrate mit den entsprechenden Seitenlängen
zeichnet und die Flächeninhalte miteinander vergleicht: Die Flächen der beiden
kleineren Quadrate
und
sind mit dem großen Quadrat
flächengleich.
Der Satz des Pythagoras erweist sich in der Praxis als nützlich, um
zwei Bretter, Stangen o.ä. mit bekannten Längen und
rechtwinklig zueinander anzuordnen. Löst man Gleichung (3)
nach der Länge der Verbindungslinie
auf, so ergibt sich
Liegen die Eckpunkte und
exakt um
voneinander entfernt, so beträgt der Winkel zwischen
und
genau
. Geeignet ist
insbesondere das Längenverhältnis
, da hierbei
gilt; die Länge der Basis-Einheit kann frei gewählt werden.
Höhen- und Kathetensatz
Im rechtwinkligen Dreieck gelten darüber hinaus zwei weitere Beziehungen:
- Höhensatz:
Das Produkt der beiden Hypotenusenteile
und
, die rechts und links der Höhe
liegen, ist gleich dem Quadrat der Höhe:
Kathetensatz: Das Produkt einer Kathete ist gleich dem Produkt aus der Hypotenuse
und dem anliegenden Hypotenusenanteil:[3]
Diese beiden Gesetzmäßigkeiten wurden bereits von Euklid entdeckt. Sie beruhen darauf, dass die
Dreiecke und die beiden durch die Höhe
entstehenden
Dreiecke
und
zueinander ähnlich sind: Alle
enthalten einen rechten Winkel und haben je eine Dreiecksseite gemeinsam, zudem
haben alle Dreiecke wegen Gleichung (1) den Winkel
gemeinsam.
Aufgrund der Ähnlichkeit sind die Verhältnisse der Seitenlängen gleich, es gilt
beispielsweise für die Dreiecke und
das
Längenverhältnis
, das sich auch als
schreiben lässt und somit dem Höhensatz entspricht. Ebenso folgen
die beiden Kathetensätze aus den Längenverhältnissen
der Dreiecke
und
sowie
der Dreiecke
und
.
Weitere Eigenschaften
Auf weitere Zusammenhänge in Dreiecken wird im Abschnitt Trigonometrie näher eingegangen.
Anmerkungen:
[1] | Gilt ![]() |
[2] | Da die Seiten ![]() ![]() |
[3] | Der Kathetensatz von Euklid beinhaltet auch den Satz von Pythagoras.
Addiert man nämlich die beiden Gleichungen |