Abbildungen innerhalb einer Ebene¶
Durch eine geometrische Abbildung entsteht aus einer Original-Figur eine neue Figur innerhalb der gleichen Ebene (beziehungsweise innerhalb des gleichen Raumes im dreidimensionalen Fall). Fasst man eine geometrische Form als Menge ihrer Punkte auf, so ist eine geometrische Abbildung formal mit einer Abbildung von Mengen identisch.
Ähnlichkeitsabbildungen¶
Bei einer Ähnlichkeitsabbildung bleibt die Form einer geometrischen Figur erhalten, ihre Größe ändert sich jedoch. Grundlegend ist hierbei die so genannte „zentrische Streckung“.
Um eine zentrische Streckung zu beschreiben, geht man von einem bestimmten Punkt
als Streckungszentrum aus. Zeichnet man von
aus
durch jeden Punkt
einer geometrischen Figur
einen
Strahl und zeichnet auf diesem in der jeweils
-fachen Entfernung einen
neuen Punkt
ein, so erhält man eine zweite Figur
, die
gegenüber der Original-Figur verschoben und
-mal so groß erscheint.[1]
Der Faktor wird Skalierungsfaktor (umgangssprachlich auch
als „Maßstab“) genannt. Für
ergibt sich folgender
Zusammenhang:
Ist , so bleibt die Orientierungsrichtung der Figur, also der
Umlaufsinn ihrer Punkte, erhalten. Gilt
, so wird die Figur
verkleinert („gestaucht“), im Fall
wird sie vergrößert
(„gestreckt“). Für
wird die Figur identisch auf sich selbst
abgebildet.
Ist , so liegt die Bildfigur
im Vergleich zur
Originalfigur
auf der gegenüber liegenden Seite des Zentrums
; ihre Orientierungsrichtung bleibt dabei erhalten. Gilt
, so wird auch hierbei die Figur verkleinert beziehungsweise im
Fall
vergrößert.
Bei jeder Ähnlichkeitsabbildung einer Figur auf eine Figur
haben einerseits alle entsprechenden Strecken das gleiche Größenverhältnis
, andererseits bleiben die Größen aller Winkel der Figur
in
der Figur
erhalten. Beide Kriterien können auch genutzt werden, um
„Ähnlichkeit“ als eine Relation zwischen zwei Figuren
aufzufassen: Zwei Figuren
und
sind genau dann einander
ähnlich, wenn sie in ihren Winkeln übereinstimmen und die entsprechenden
Strecken im gleichen Maßstab zueinander stehen. In der mathematischen Kurzform
schreibt man hierfür
.
Kongruenzabbildungen¶
Als Kongruenzabbildung oder „Bewegung“ wird jede Abbildung bezeichnet, bei der die Original-Figur und ihr Abbild in Form und Größe übereinstimmen, sich also nur die Lage der Figur im Raum verändert. Lässt sich eine geometrische Figur durch eine beliebige Anzahl von Bewegungen deckungsgleich in eine andere Figur überführen, so nennt man die beiden Figuren kongruent; kongruente Figuren haben stets gleich lange Strecken und gleich große Winkel.[2]
Die vier möglichen Kongruenzabbildungen werden im Folgenden kurz aufgelistet:
Translation einer geometrischen Figur
Um eine Verschiebung („Translation“) zu beschreiben, geht man von einem Vektor
aus, für deren Länge
gelten soll. Trägt
man an jedem Punkt
einer geometrischen Figur einen ebenso langen,
zu
parallelen Vektor mit
als Anfangspunkt an, so
ergibt sich zu jedem Original-Punkt ein zugehöriger Bildpunkt
.
Die sich ergebende Bildfigur wird durch den Verschiebungsvektor
gegenüber der Original-Figur
lediglich um die Länge
in Richtung von
verschoben; die Größe, Form und
Orientierung der Figur bleiben hingegen erhalten.
Spiegelung einer geometrischen Figur an einer Geraden
Um eine Spiegelung an einer Geraden zu beschreiben, geht man von einer festen
Geraden als Spiegelachse aus. Durch jeden Punkt
einer Figur
konstruiert man eine Gerade senkrecht zu
und bestimmt auf dieser den
Bildpunkt
so, dass
und
von
der Spiegelachse
den gleichen Abstand haben und auf verschiedenen
Seiten von
liegen.
Der Punkt wird üblicherweise Spiegelbild von
bezüglich
bezeichnet. Bei einer Achsenspiegelung bleibt die Form und
Größe der Figur erhalten, es ändert sich jedoch der Umlaufsinn ihrer Punkte.
Spiegelung einer geometrischen Figur an einem Punkt
Um eine Spiegelung an einem Punkt zu beschreiben, geht man von einem festen
Punkt als Symmetriezentrum aus. Durch jeden Punkt
einer Figur legt man dann eine Gerade durch
und bestimmt auf dieser den Bildpunkt
so,
dass
und
von
den
gleichen Abstand haben und auf verschiedenen Seiten von
liegen.
Man kann eine Punktspiegelung ebenso als zentrische Streckung mit einem Maßstab
von oder als Drehung der Ebene um den Punkt
mit
einem Drehwinkel von
deuten. Bei einer
Punktspiegelung bleibt somit neben der Form und Größe einer Figur auch ihr
Umlaufsinn, also die Reihenfolge ihrer Punkte erhalten.
Rotation einer geometrischen Figur
Um eine Drehung („Rotation“) zu beschreiben, geht man von einem bestimmten Punkt
als Drehzentrum und einem festen Winkel
aus. Durch
jeden Punkt
einer Figur zeichnet man einen Kreis um den
Mittelpunkt
und bestimmt auf diesem Kreis den zu
gehörenden Bildpunkt
so, dass der Winkel
gleich
ist.
Erfolgt die Drehung entgegengesetzt zum Uhrzeigersinn, so spricht man von einem positiven Drehsinn; bei einer Drehung im Uhrzeigersinn spricht man von einem negativen Drehsinn. Die Form und Größe der Figur sowie die Reihenfolge ihrer Punkte bleibt bei einer Drehung erhalten.
Anmerkung:
[1] | In der analytischen Geometrie werden Skalierungen von geometrischen Objekten rechnerisch mittels Skalierungsmatrizen beschrieben. |
[2] | Jede Kongruenzabbildung kann auch als eine Ähnlichkeitsabbildung
mit einem Maßstab von ![]() |