Integralrechnung

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Integralrechnung.

Integrationsmethoden


  • Bei dieser Aufgabe entspricht die Variable x der Zeit t. Dies kommt bei physikalischen Aufgaben so häufig vor, dass eigens die Notation \dot{f} \equiv \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} anstelle von f'
\equiv \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} eingeführt wurde.

    Da die Zu- beziehungsweise Abflussmenge in den jeweiligen Zeitabschnitten konstant ist, kann die im Waschbecken enthaltene Wassermenge sehr einfach berechnet werden. Hierbei wird folgende Integralregel verwendet:

    f(x) = c \quad \Longleftrightarrow \quad F(x) = c \cdot x

    Wendet man diese Regel an (mit t anstelle von x als Variable) auf den konstanten Volumenstrom \dot{V}_1 an, so ergibt sich mit t_0=0 für die im Waschbecken enthaltene Wassermenge am Ende des ersten Zeitabschnitts:

    \int_{t_0}^{t_1} \dot{V}_1 \cdot \mathrm{d}t = \big( \dot{V}_1 \cdot t
\big) \Big | _{\mathrm{t_1}} ^{t_2} = \dot{V}_1 \cdot t_1 - \dot{V}_1
\cdot t_0 = \unit[0,3]{\frac{l}{s}} \cdot \unit[30]{s}  = \unit[9,0]{l}

    Der zweite Term \dot{V}_1 \cdot t_0 ergibt hierbei den Wert Null, da t_0 = 0 ist. Zum Zeitpunkt t_1 sind somit neun Liter Wasser im Waschbecken enthalten.

    Im Zeitraum zwischen t_1 und t_2 ist der Zu- beziehungsweise Ablauf verschlossen und somit der fließende Volumenstrom gleich Null. Die im Zeitraum zwischen t_2 und t_3 abfließende Wassermenge kann wiederum nach dem obigen Prinzip berechnet werden; es muss lediglich das negative Vorzeichen des Volumenstroms berücksichtigt werden.

    \int_{t_2}^{t_3} \dot{V}_2 \cdot \mathrm{d}t = \big( \dot{V}_2 \cdot t
\big) \Big | _{\mathrm{t_2}} ^{t_3} = \dot{V}_2 \cdot t_3 - \dot{V}_3
\cdot t_2 = \dot{V}_2 \cdot (t_3 - t_2) = \unit[-1,2]{\frac{l}{s}} \cdot
\unit[(50-45)]{s} = \unit[-6,0]{l}

    Die resultierende Wassermenge ergibt sich aus der Addition beider Integrale:

    V_{\mathrm{ges}} = \int_{t_0}^{t_1} \dot{V}_1 \cdot \mathrm{d}t  +
\int_{t_2}^{t_3} \dot{V}_2 \cdot \mathrm{d}t  = \unit[(9,0-6,0)]{l} =
\unit[3,0]{l}

    Unter den angegebenen Bedingungen werden zum Zeitpunkt t_3 somit drei Liter Wasser im Waschbecken sein.

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  • Das Integral \int_{0}^{1} x \cdot e^x \cdot \mathrm{d} x kann am Einfachsten mittels einer partiellen Integration berechnet werden, indem man sich die gegebene Funktion in der Gestalt f(x) = f_1(x) \cdot f_2'(x) denkt; hierbei soll f_1(x)
= x und f_2'(x) = e^x gesetzt werden.

    Für eine partielle Integration gilt allgemein:

    \int_{a}^{b} f_1(x) \cdot f_2'(x) = \Big(f_1(x) \cdot
f_2(x)\Big)\Big|_{\mathrm{a}}^b - \int_{a}^{b} f_1'(x) \cdot f_2(x) \cdot
\mathrm{d}x

    Zur Berechnung des Integrals muss somit die Ableitung der Funktion f_1(x) sowie die Stammfunktion der Funktion f_2(x) gefunden werden:

    f_1(x) = x \quad\; &\Longleftrightarrow \quad f_1'(x) \,= 1 \\
f_2'(x) = e^x \quad &\Longleftrightarrow \quad F_2(x) = e^x \\

    Somit ergibt sich:

    \int_{0}^{1} x \cdot e^x \cdot \mathrm{d} x = \left( x \cdot e^x \right)
\Big| _0^1 - \int_{0}^{1} 1 \cdot e^{x} \cdot \mathrm{d}x

    Das Integral \int_{0}^{1} 1 \cdot e^{x} \cdot \mathrm{d}x kann unmittelbar als e^x\big|_0^1 geschrieben werden, da die Stammfunktion zu e^x wiederum e^x ist. Damit erhält man für die obige Gleichung:

    \int_{0}^{1} x \cdot e^x \cdot \mathrm{d} x &= \left( x \cdot e^x \right)
\Big| _0^1 - e^x\Big| _0^1 \\ &= \, \Big( x \cdot e^x  - e^x \Big) \;
\Big| _0^1 \\ &= \, \Big( (x - 1) \cdot e^x \Big) \Big|_0^1

    Die beiden Terme dürfen in der zweiten Zeile zusammen gezogen werden, da für beide die gleichen Integrationsgrenzen gelten. Zur Auswertung müssen diese nun noch eingesetzt werden. Damit erhält man:

    \int_{0}^{1} x \cdot e^x \cdot \mathrm{d} x = \Big((1-1) \cdot e^1 \Big) -
\Big((0-1) \cdot e^0 \Big) = 1

    Das Integral ergibt wegen e^0 = 1 somit den Wert 1.

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