Differentialrechnung¶

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Differentialrechnung.

Differenzierbarkeit setzt Stetigkeit voraus, jede an einer Stelle $x_0$ differenzierbare Funktion ist somit an dieser Stelle auch stetig.

Die Umkehrung gilt jedoch nicht: Beispielsweise ist die Funktion $y=|x|$ an der Stelle $x_0=0$ zwar stetig (weil der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert sowie der Funktionswert an dieser Stelle übereinstimmen), aber nicht differenzierbar (weil die Steigungen unmittelbar links und rechts von $x_0$ nicht übereinstimmen).

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Die Ableitung der Funktion $f(x) = \frac{c \cdot x}{x^2 - c^2}$ mit $c \in \mathbb{R} ^{+}$ kann mittels der Quotientenregel bestimmt werden. Mit $f_1(x) = c \cdot x$ und $f_2(x) = x^2 - c^2$ gilt:

$\left(\frac{f_1(x)}{f_2(x)} \right)' &= \frac{f_1'(x) \cdot f_2(x) - f_1(x) \cdot f_2'(x)}{\big(f_2(x)\big)^2} \\[4pt] &= \frac{(c \cdot 1) \cdot (x^2 - c^2) - c \cdot x \cdot (2 \cdot x - 0)}{(x^2 - c^2)^2} \\[4pt] &= \frac{c \cdot x^2 - c^3 - 2 \cdot c \cdot x^2 }{(x^2 - c^2)^2} = \frac{-c \cdot x^2 - c^3}{(x^2 - c^2)^2} = \frac{-c \cdot (x^2 + c^2)}{(x^2 - c^2)^2}$

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