Reihen- und Parallelschaltungen

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Reihen- und Parallelschaltungen.

Reihen- und Parallelschaltungen von Stromquellen


  • Bei einer Reihenschaltung von n Stromquellen addieren sich die Werte der Spannungen U_1,\,  U_2 ,\, \ldots ,\, U_{\mathrm{n}} zu einer Gesamtspannung U_{\mathrm{ges}}. Wenn drei Batterien mit einer Spannung von je \unit[1,5]{V} in Reihe geschaltet werden, ergibt sich somit folgende Gesamt-Spannung:

    U_{\mathrm{ges}} &= U_1 + U_2 + U_3 = \unit[1,5]{V} + \unit[1,5]{V} +
\unit[1,5]{V} = \unit[4,5]{V}

    Bei einer Parallelschaltung von (gleichartigen) Stromquellen ist die Gesamtspannung gleich der Spannung einer einzelnen Stromquelle.[1] Eine Parallelschaltung zweier \unit[1,5]{V}-Batterien liefert somit eine Gesamt-Spannung von ebenfalls \unit[1,5]{V}.

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Reihen- und Parallelschaltungen von Widerständen


  • Bei einer Reihenschaltung von Widerständen treten keine Verzweigungen auf; in jeden Netzwerk-Knoten fließt somit gleich viel Strom hinein, wie aus ihm auch wieder hinausfließt. Es gilt somit I=\text{konst} an allen Stellen in der Schaltung.

    Eine Reihenschaltung bildet zudem gemeinsam mit der Spannungsquelle eine Masche. Innerhalb dieser Masche ergeben alle Spannungen in Summe Null. Nach dem Ohmschen Gesetz gilt:

    U_1 &= R_1 \cdot I \\
U_2 &= R_2 \cdot I \\
U_{\mathrm{ges}} &= R_{\mathrm{ges}} \cdot I \\

    ../_images/reihen-und-parallelschaltung-maschenregel-loesung.png

    SVG: Netzwerk-Knoten (Loesung)

    Aus der Maschenregel ergibt sich:

    U_{\mathrm{ges}} = U_1 + U_2

    Setzt man die aus dem Ohmschen Gesetz resultierenden Ausdrücke in diese Gleichung ein, so erhält man:

    R_{\mathrm{ges}} \cdot I &= R_1 \cdot I + R_2 \cdot I \\
\Rightarrow R_{\mathrm{ges}} &=  R_1 + R_2 \quad \checkmark

    Die Formel R_{\mathrm{ges}} = R_1 + R_2 für die Reihenschaltung zweier Widerstände folgt somit unmittelbar aus dem Ohmschen Gesetz sowie der Kirchhoffschen Maschenregel.

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  • In einer Parallelschaltung ist die Gesamt-Stromstärke I_{\mathrm{ges}} gleich der Summe der (Teil-)Stromstärken I_1,\, I_2,\, \ldots ,\,
I_{\mathrm{n}}. Betragen die Stromstärken I_1 und I_2 in zwei Stromzweigen \unit[1,8]{A} bzw. \unit[2,2]{A}, so ergibt sich damit folgende Gesamt-Stromstärke:

    I_{\mathrm{ges}} = I_1 + I_2
= \unit[1,8]{A} + \unit[2,2]{A} = \unit[4,0]{A}

    Die Gesamt-Stromstärke beträgt somit I_{\mathrm{ges}} = \unit[4,0]{A}.

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  • Bei einer Reihenschaltung ist der Gesamtwiderstand R_{\mathrm{ges}} gleich der Summe der einzelnen Widerstandswerte; für eine Reihenschaltung zweier Widerstände R_1 = \unit[100]{\Omega } und R_2 =
\unit[50]{\Omega } gilt somit:

    R_{\mathrm{ges}} = R_1 + R_2 = \unit[100]{\Omega } + \unit[50]{\Omega } =
\unit[150]{\Omega }

    Durch Einsetzen des Werts der anliegenden Spannung U_{\mathrm{ges}} =
\unit[9]{V} und des Gesamtwiderstandes R_{\mathrm{Ges}} =
\unit[150]{\Omega} in das Ohmsche Gesetz U_{\mathrm{ges}} =
R_{\mathrm{ges}} \cdot I folgt damit für die fließende Stromstärke I:

    U_{\mathrm{ges}} = R_{\mathrm{ges}} \cdot I \quad \Leftrightarrow \quad I =
\frac{U_{\mathrm{ges}}}{R_{\mathrm{ges}}}

    I = \frac{U_{\mathrm{ges}}}{R_{\mathrm{ges}}} =
\frac{\unit[9]{V}}{\unit[150]{\Omega}} = \unit[0,06]{A} = \unit[60]{mA}

    Die Stromstärke beträgt somit I = \unit[60]{mA} (an allen Stellen der Reihenschaltung). Wiederum mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes können damit die beiden Teilspannungen U_1 = R_1 \cdot I und U_2 = R_2 \cdot
I an den beiden Widerständen berechnet werden:

    U_1 &= R_1 \cdot I = \unit[100]{\Omega} \cdot \unit[0,06]{A} = \unit[6]{V}
\\[6pt]
U_2 &= R_1 \cdot I = \unit[50]{\Omega} \cdot \unit[0,06]{A} = \unit[3]{V}

    Die beiden Teilspannungen U_1 und U_2 betragen somit \unit[6]{V} bzw. \unit[3]{V}. In der Summe ergeben sie die Gesamtspannung U_{\mathrm{ges}} = \unit[9]{V}, zueinander stehen sie im gleichen Verhältnis wie die Werte R_1 und R_2 der Widerstände (\frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{2}{1}).

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  • Bei einer Parallelschaltung ist der Kehrwert des Gesamtwiderstands \frac{1}{R_{\mathrm{ges}}} gleich der Summe der Kehrwerte der einzelnen Widerstandswerte; für eine Reihenschaltung zweier Widerstände R_1 = \unit[100]{\Omega } und R_2 = \unit[50]{\Omega } gilt somit:

    \frac{1}{R_{\mathrm{ges}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} =
\frac{1}{\unit[100]{\Omega }} + \frac{1}{\unit[50]{\Omega }} =
\unit[\frac{3}{100} ]{\frac{1}{\Omega }}

    \Rightarrow R_{\mathrm{ges}} = \unit[\frac{100}{3}]{\Omega } \approx
\unit[33,3]{\Omega }

    Durch Einsetzen des Werts der anliegenden Spannung U = \unit[9]{V} und des Gesamtwiderstandes R_{\mathrm{Ges}} = \unit[33,3]{\Omega } in das Ohmsche Gesetz U = R \cdot I folgt damit für die im unverzweigten Teil fließende Stromstärke I_{\mathrm{ges}}:

    U = R_{\mathrm{ges}} \cdot I_{\mathrm{ges}} \quad \Leftrightarrow \quad I =
\frac{U}{R_{\mathrm{ges}}}

    I_{\mathrm{ges}} = \frac{U}{R_{\mathrm{ges}}} =
\frac{\unit[9]{V}}{\unit[33,3]{\Omega }} = \unit[0,27]{A} =
\unit[270]{mA}

    Die Stromstärke beträgt im unverzweigten Teil der Schaltung somit I =
\unit[270]{mA}.

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  • Bei einer Parallelschaltung lässt sich der Kehrwert des Gesamtwiderstands \frac{1}{R_{\mathrm{ges}}} als Summe der Kehrwerte der einzelnen Widerstandswerte berechnen:

    \frac{1}{R_{\mathrm{ges}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} =
\frac{1}{\unit[100]{\Omega }} + \frac{1}{\unit[470]{\Omega }} +
\frac{1}{\unit[1\,000]{\Omega }} \approx \unit[0,013]{\frac{1}{\Omega } }

    \Rightarrow R_{\mathrm{ges}} \approx \unit[76,2]{\Omega }

    Die Spannung U= \unit[9]{V} bleibt an allen Stellen der Parallelschaltung unverändert. Die Gesamt-Stromstärke I_{\mathrm{ges}} sowie die Stromstärken I_1,\, I_2,\, I_3 durch die Widerstände R_1,\, R_2,\, R_3 lassen sich mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes berechnen:

    I_{\mathrm{ges}} = \frac{U}{R_{\mathrm{ges}}} &=
\frac{\unit[9]{V}}{\unit[76,2]{\Omega}} =~ \unit[0,12]{A} \\[6pt]
I_1 = \frac{U}{R_1} &= \frac{\unit[9]{V}}{\unit[100]{\Omega}} =~
\unit[0,09]{A} \\[4pt]
I_2 = \frac{U}{R_2} &= \frac{\unit[9]{V}}{\unit[470]{\Omega}} =~
\unit[0,02]{A} \\[4pt]
I_3 = \frac{U}{R_3} &= \frac{\unit[9]{V}}{\unit[1\,000]{\Omega}} =~
\unit[0,01]{A}

    Bei einer Reihenschaltung lässt sich der Gesamtwiderstand R_{\mathrm{ges}} als Summe der einzelnen Widerstandswerte berechnen:

    R_{\mathrm{ges}} = R_1 + R_2 + R_3 = \unit[100]{\Omega } +
\unit[470]{\Omega} + \unit[1\,000]{\Omega} = \unit[1\,570]{\Omega}

    Durch Einsetzen der anliegenden Spannung U_{\mathrm{ges}} = \unit[9]{V} und des Gesamtwiderstands R_{\mathrm{ges}} = \unit[1\,570]{\Omega} in das Ohmsche Gesetz folgt:

    U_{\mathrm{ges}} = R_{\mathrm{ges}} \cdot I \quad \Leftrightarrow \quad I =
\frac{U_{\mathrm{ges}}}{R_{\mathrm{ges}} }

    I_{\mathrm{ges}} = \frac{U}{R_{\mathrm{ges}}} =
\frac{\unit[9]{V}}{\unit[1570]{\Omega}} \approx \unit[0,0057]{A} =
\unit[5,7]{mA}

    Auch die an den einzelnen Widerständen anliegenden Spannungen lassen sich mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes berechnen, wenn für die Stromstärke I = I_{\mathrm{ges}} \approx \unit[0,0057]{A} eingesetzt wird:

    U_1 &= R_1 \cdot I \approx \unit[100]{\Omega} \cdot
\unit[0,0057]{A} \approx \unit[0,6]{V} \\[4pt]
U_2 &= R_2 \cdot I \approx \unit[470]{\Omega} \cdot
\unit[0,0057]{A} = \unit[2,7]{V} \\[4pt]
U_3 &= R_3 \cdot I \approx \unit[1\,000]{\Omega} \cdot
\unit[0,0057]{A} = \unit[5,7]{V}

    Die Summe der drei Teilspannungen entspricht (von Rundungsfehlern abgesehen) wieder der Gesamtspannung (U_{\mathrm{ges}} = U_1 + U_2 + U_3 =
\unit[9]{V}).

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  • Die Parallelschaltung der beiden Widerstände R_1 = \unit[470]{\Omega} und R_2 = \unit[220]{\Omega} wirkt nach außen wie ein einzelner “Ersatzwiderstand” R_{\mathrm{Ers}} mit folgendem Wert:

    \frac{1}{R_{\mathrm{Ers}}} = \frac{1}{R_1 } + \frac{1}{R2} =
\unit[1]{\unit[470]{\Omega }} + \unit[1]{\unit[220]{\Omega}} \approx
\unit[0,0067]{\frac{1}{\Omega}}

    \Rightarrow R_{\mathrm{Ers}} \approx \unit[150]{\Omega }

    Der gesamte Stromkreis kann damit als eine Reihenschaltung des Ersatzwiderstands R_{\mathrm{Ers}} \approx \unit[150]{\Omega} und des Widerstands R_3 = \unit[560]{\Omega} aufgefasst werden. Für den Gesamtwiderstand R_{\mathrm{ges}} folgt:

    R_{\mathrm{ges}} = R_{\mathrm{Ers}} + R_3 \approx \unit[150]{\Omega } +
\unit[560]{\Omega} = \unit[710]{\Omega}

    Mit dem Ohmschen Gesetz lässt sich in Folge die Stromstärke I
_{\mathrm{ges}} im unverzweigten Teil des Stromkreises (U_{\mathrm{ges}} =
\unit[9]{V},\, R_{\mathrm{ges}} \approx \unit[710]{\Omega}) bestimmen:

    U = R_{\mathrm{ges}} \cdot I_{\mathrm{ges}} \quad \Leftrightarrow \quad I
= \frac{U}{R_{\mathrm{ges}}}

    I_{\mathrm{ges}} = \frac{U_{\mathrm{ges}}}{R_{\mathrm{ges}}} \approx
\frac{\unit[9]{V}}{\unit[710]{\Omega}} \approx \unit[0,013]{A} =
\unit[13]{mA}

    Mit I = I_{\mathrm{ges}} \approx \unit[0,013]{A} lassen sich die an den Widerständen R_{\mathrm{Ers}} und R_3 anliegenden Spannungen U_{\mathrm{Ers}} bzw. U_3 bestimmen:

    U_{\mathrm{Ers}} &= R_{\mathrm{Ers}} \cdot I \approx \unit[150]{\Omega} \cdot
\unit[0,013]{A}  \approx  \unit[1,9]{V} \\[6pt]
U_3 &= R_3 \cdot I \approx \unit[560]{\Omega} \cdot
\unit[0,013]{A} \approx \unit[7,1]{V}

    Die Spannung U_{\mathrm{Ers}} \approx \unit[1,9]{V} liegt an beiden parallelen Widerständen R_1 und R_2 an. Für die Stromstärken I_1 und I_2 in diesen beiden Stromzweigen ergibt sich somit:

    I_1 = \frac{U_{\mathrm{Ers}}}{R_1} \approx
\frac{\unit[1,9]{V}}{\unit[470]{\Omega}} \approx \unit[0,004]{A} \\[6pt]
I_1 = \frac{U_{\mathrm{Ers}}}{R_2} \approx
\frac{\unit[1,9]{V}}{\unit[220]{\Omega}} \approx \unit[0,009]{A}

    Die Summe der beiden Stromstärken ist wiederum gleich der Stromstärke I_{\mathrm{ges}} im unverzweigten Stromkreis.

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Anmerkungen:

[1]Durch eine Parallelschaltung mehrerer Batterien oder Akkus kann allerdings deren gespeicherte Energiemenge und damit die “Haltbarkeit” der Stromquelle vergrößert werden.

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