Reihen- und Parallelschaltungen¶

Im folgenden wird behandelt, welche Auswirkungen sich durch eine Reihen- oder Parallelschaltung mehrerer Widerstände, Stromquellen oder Kondensatoren ergeben.

Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen¶

In (fast) jedem Stromkreis befinden sich mehrere Verbraucher, also elektrische Widerstände. Wie diese in ihrer Gesamtheit wirken, hängt davon ab, ob sie parallel oder in Reihe geschaltet sind.

Reihenschaltung von Widerständen

Bei einer Reihenschaltung von $n$ Widerständen ist der Gesamtwiderstand $R_{\mathrm{ges}}$ gleich der Summe der Einzelwiderstände $R_1,\; R_2,\; \ldots,\; R_{\mathrm{n}}$ :

(1)¶ $R_{\mathrm{ges}} &= R_1 + R_2 + \ldots + R_{\mathrm{n}} \\ &= \sum_{i=1}^{n} R _{\mathrm{i}}$

Werden beispielsweise drei Widerstände der Größe $R = \unit[100]{\Omega }$ in Reihe geschaltet, so wirken sie zusammen wie ein Widerstand der Größe $R_{\mathrm{ges}} = \unit[100]{\Omega} + \unit[100]{\Omega} + \unit[100]{\Omega} = \unit[300]{\Omega}$ .

Reihenschaltung von drei Widerständen.

SVG: Reihenschaltung von Widerständen

Die an einer Reihenschaltung anliegende Gesamtspannung $U_{\mathrm{ges}}$ teilt sich gemäß der Maschenregel in $n$ Teilspannungen $U_1,\; U_2,\; \ldots$ auf. Dabei ist die Gesamtspannung gleich der Summe der einzelnen Teilspannungen:

(2)¶ $U_{\mathrm{ges}} &= U_1 + U_2 + \ldots + U_{\mathrm{n}} \\ &= \sum_{i=1}^{n} U_{\mathrm{i}}$

Die Stromstärke $I_{\mathrm{ges}}$ , die mehrere in Reihe geschaltete Widerstände durchfließt, ist an allen Stellen der Reihenschaltung gleich. Somit gilt:

(3)¶ $I_{\mathrm{ges}} = I_1 = I_2 = \ldots = I_{\mathrm{n}}$

Diese Tatsache wird unter anderem zur Stromstärkemessung genutzt, indem ein Amperemeter an einer beliebigen Stelle in den zu untersuchenden (Teil-)Stromkreis als Reihenschaltung eingefügt wird.

Ist der Widerstandswert $R$ eines Widerstands einer Reihenschaltung bekannt, kann mit Hilfe der obigen Formeln und des Ohmschen Gesetzes auf die am Widerstand anliegende Spannung $U$ beziehungsweise auf die durch den Widerstand fließende Stromstärke $I$ geschlossen werden:

$U = R \cdot I_{\mathrm{ges}} \quad ; \quad I = I_{\mathrm{ges}} = \frac{U _{\mathrm{ges}}}{R_{\mathrm{ges}}}$

Parallelschaltung von Widerständen

Bei einer Parallelschaltung von $n$ Widerständen addieren sich die Kehrwerte der Einzelwiderstände $R_1,\; R_2,\; \ldots$ zum Kehrwert des Gesamtwiderstandes $R_{\mathrm{ges}}$ auf:

(4)¶ $\frac{1}{R_{\mathrm{ges}}} &= \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \ldots + \frac{1}{R_{\mathrm{n}}} \\ &= \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{R_{\mathrm{i}}}$

Werden beispielsweise drei Widerstände der Größe $R = \unit[100]{\Omega}$ parallel zueinander geschaltet, so ergibt sich für den Kehrwert des Gesamtwiderstands $\frac{1}{R_{\mathrm{ges}}} = \unit[\frac{1}{100}]{\Omega} + \unit[\frac{1}{100}]{\Omega} + \unit[\frac{1}{100}]{\Omega} = \unit[\frac{3}{100} ]{\Omega }$ . Der Gesamtwiderstand beträgt somit $R_{\mathrm{ges}} = \unit[\frac{100}{3}]{\Omega} \approx \unit[33,3]{\Omega}$ .

Parallel von drei Widerständen.

SVG: Parallelschaltung von Widerständen

An allen $n$ Widerständen einer Parallelschaltung liegt die gleiche Spannung an. Diese ist gleich der Gesamtspannung $U_{\mathrm{ges}}$ :

(5)¶ $U_{\mathrm{ges}} = U_1 = U_2 = \ldots = U_{\mathrm{n}}$

Diese Tatsache wird unter anderm zur Spannungsmessung genutzt, indem ein Voltmeter parallel zum untersuchten (Teil-)Stromkreis beziehungsweise Bauteil geschalten wird.

Die Stromstärke $I_{\mathrm{ges}}$ teilt sich bei einer Parallelschaltung gemäß der Knotenregel auf $n$ Teilstromstärken auf:

(6)¶ $I_{\mathrm{ges}} &= I_1 + I_2 + \ldots + I_{\mathrm{n}} \\ &= \sum_{i=1}^{n} I_{\mathrm{i}}$

Ist der Widerstandswert $R$ eines Widerstands einer Parallelschaltung bekannt, kann wiederum mit Hilfe der obigen Formeln und des Ohmschen Gesetzes auf die am Widerstand anliegende Spannung $U$ beziehungsweise auf die durch den Widerstand fließende Stromstärke $I$ geschlossen werden:

$U = U_{\mathrm{ges}} \quad ; \quad I = \frac{U_{\mathrm{ges}}}{R}$

Reihen- und Parallelschaltung von Stromquellen¶

Um in einem Stromkreis eine höhere Spannung oder eine größere nutzbare Stromstärke herbeizuführen, können auch mehrere Stromquellen (z.B. Batterien, Akkumulatoren oder Solarzellen) in Reihe oder parallel zueinander geschalten werden.

Reihenschaltung von Stromquellen

Werden $n$ Stromquellen in Reihe geschaltet, so addieren sich ihre einzelnen Spannungswerte $U_1,\; U_2,\; U_{\mathrm{n}}$ zu einer Gesamtspannung $U_{\mathrm{ges}}$ :

$U_{\mathrm{ges}} &= U_1 + U_2 + \ldots + U_{\mathrm{n}} \\ &= \sum_{i=1}^{n} U_{\mathrm{i}}$

Diese Gleichung ist formal mit Gleichung (2) identisch. Der Unterschied liegt in der entgegengesetzten Wirkungsweise von Stromquellen und Widerständen:

In einer Reihenschaltung wird durch das Hinzufügen eines zusätzlichen Widerstands $R_{\mathrm{\downarrow}}$ die an den übrigen Verbrauchern anliegende Spannung auf $U_{\mathrm{neu}} = U_{\mathrm{ges}} - R_{\mathrm{\downarrow}} \cdot I_{\mathrm{ges}}$ reduziert.
In einer Reihenschaltung wird durch das Hinzufügen einer zusätzlichen Stromquelle $U_{\mathrm{\uparrow}}$ die an den übrigen Verbrauchern anliegende Spannung auf $U_{\mathrm{neu}} = U_{\mathrm{ges}} + U_{\mathrm{\uparrow}}$ erhöht.

Reihenschaltung von drei Stromquellen.

SVG: Reihenschaltung von Stromquellen

Schaltet man $n$ gleichartige Stromquellen in Reihe, so weist die resultierende Stromquelle eine $n$ -fache Spannung auf.

Parallelschaltung von Stromquellen

Werden $n$ Stromquellen parallel zueinander geschaltet, so reduzieren sich die Teilstromstärken $I_1,\; I_2,\; \ldots$ , die jede einzelne Stromquelle zur gesamten Stromstärke $I_{\mathrm{ges}}$ beisteuert.

$I_{\mathrm{ges}} &= I_1 + I_2 + \ldots + I_{\mathrm{n}} \\ &= \sum_{i=1}^{n} I_{\mathrm{i}}$

Diese Gleichung ist formal mit Gleichung (6) identisch. An dieser Stelle hat sie zweierlei gleichsam gültige Wirkungen zur Folge:

Wird eine Stromquelle, die eine maximale Stromstärke $I_{\mathrm{\uparrow}}$ liefern kann, parallel zu einer bestehenden Stromquelle geschaltet, so erhöht sich die insgesamt mögliche Stromstärke auf $I_{\mathrm{max,neu}} = I_{\mathrm{max,alt}} + I_{\mathrm{\uparrow}}$ .[1]
Wird eine weitere Stromquelle $I_{\mathrm{\uparrow}}$ parallel zu einem bestehenden Stromkreis geschaltet, so wird die bisherige Stromquelle auf $I_{\mathrm{neu}} = I_{\mathrm{ges}} - I_{\mathrm{\uparrow}}$ „entlastet“. Bei Stromquellen mit einem begrenzten Energiespeicher, beispielsweise Batterien und Akkumulatoren, wird dadurch die Entladezeit („Lebensdauer“) entsprechend erhöht.[2]

Parallelschaltung von drei Stromquellen.

SVG: Parallelschaltung von Stromquellen

Bei einer Parallelschaltung von $n$ gleichartigen Stromquellen wird die maximal mögliche Stromstärke um das $n$ -fache erhöht beziehungsweise die einzelnen von den Stromquellen bereitgestellten (Teil-)Stromstärken um das $\frac{1}{n}$ -fache reduziert.

Reihen- und Parallelschaltung von Kondensatoren¶

Kondensatoren gehören ebenfalls zu den häufig verwendeten elektronischen Bauteilen. Durch eine Reihen- oder Parallelschaltung mehrerer Kondensatoren lässt sich ihre charakteristische Größe, die Kapazität $C$ , beeinflussen.

Reihenschaltung von Kondensatoren

Werden $n$ Kondensatoren in Reihe geschaltet, so werden bei Anlegen der Spannung $U$ alle mit der gleichen Stromstärke $I$ auf eine Ladungsmenge $Q$ aufgeladen.

Reihenschaltung von drei Kondensatoren.

SVG: Reihenschaltung von kondensatoren

Wie bei Reihenschaltungen üblich, addieren sich dabei die an den einzelnen Kondensatoren abfallenden Teilspannungen $U_{\mathrm{i}}$ , die sich mit Hilfe der allgemeinen Kondensator-Formel $(Q = C \cdot U)$ als $U_{\mathrm{i}} = Q / C_{\mathrm{i}}$ ausdrücken lassen:

$U_{\mathrm{ges}} = \frac{Q}{C_1} + \frac{Q}{ C_2} + \ldots = \sum_{i=1}^{n} \frac{Q}{C_{\mathrm{i}}}$

Um herauszufinden, wie mehrere Kondensatoren in ihrer Gesamtheit wirken, d.h. welche Gesamt-Kapazität $C_{\mathrm{ges}}$ sich aus der Reihenschaltung der $n$ einzelnen Kondensatoren $C_{\mathrm{i}}$ ergibt, muss man beide Seiten der obigen Gleichung durch die konstante Ladung $Q$ teilen. Die linke Seite der Gleichung entspricht dann der Gesamtkapazität $C_{\mathrm{ges}} = U_{\mathrm{ges}} / Q$ , die rechte Seite der Summe aller Kehrwerte der einzelnen Kondensatoren:

(7)¶ $\frac{1}{C_{\mathrm{Ges}} } = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{C_{\mathrm{i}}}$

Wird zu einem bestehenden Kondensator ein weiterer in Reihe geschaltet, so nimmt die Gesamtkapazität ab. Kondensatoren verhalten sich in einer Reihenschaltung somit ähnlich wie Widerstände in einer Parallelschaltung.

Parallelschaltung von Kondensatoren

Werden $n$ Kondensatoren parallel zueinander geschaltet, so liegt an allen die gleiche Spannung $U$ an. Der Gesamtstrom $I_{\mathrm{ges}}$ teilt sich in $n$ Teilströme auf, wodurch die einzelnen Kondensatoren mit unterschiedlichen Ladungen $Q_{\mathrm{i}}$ geladen werden.

Parallelschaltung von drei Kondensatoren.

SVG: Parallelschaltung von kondensatoren

Mit Hilfe der allgemeinen Kondensator-Formel $(Q = C \cdot U)$ lässt sich die Gesamt-Kapazität $C_{\mathrm{ges}}$ direkt ausdrücken:

$C_{\mathrm{ges}} = \frac{Q_{\mathrm{ges}}}{U} = \frac{Q_1}{U} + \ldots + \frac{Q_{\mathrm{n}}}{U} = \sum_{i=1}^{n} \frac{Q_{\mathrm{i}}}{U}$

Die einzelnen Quotienten $Q_{\mathrm{i}} / U$ entsprechen dabei den einzelnen Kapazitäten $C_{\mathrm{i}}$ der parallel zueinander geschalteten Kondensatoren. Somit gilt:

(8)¶ $C_{\mathrm{Ges}} = \sum_{i=1}^{n} C _{\mathrm{i}}$

Eine Parallelschaltung zweier oder mehrerer Kondensatoren gleicht somit einem einzigen Kondensator mit einer entsprechend größeren Kapazität. Kondensatoren verhalten sich in einer Parallelschaltung somit ähnlich wie Widerstände in einer Reihenschaltung.

Stern-Dreieck-Umwandlung¶

Um in einem Stromkreis mit mehreren Widerständen die einzelnen auftretenden Stromstärken und Spannungen zu bestimmen, können diese schrittweise durch Ersatz-Widerstände für Reihen- und Parallelschaltungen von Widerständen ersetzt werden. Bisweilen können allerdings auch Schaltungen auftreten, bei denen eine solche Ersetzung nicht unmittelbar möglich ist. Eine solche Schaltung ist in der folgenden Abbildung beispielhaft gezeigt:

Beispielschaltung für eine Dreieck-Stern-Umwandlung.

SVG: Dreieck-Stern-Beispielschaltung

Bei der obigen Beispiel-Schaltung kann man beispielsweise nicht unmittelbar sagen, ob der Widerstand $R_3$ nun in Reihe oder parallel zu den übrigen Widerständen geschaltet ist. In so einem Fall ist es jedoch möglich, eine „dreieckige“ Schaltung in eine „sternförmige“ umzuwandeln:

Symbolhafte Darstellung einer Dreieck- und einer zugehörigen Stern-Schaltung.

SVG: Dreieck- und Stern-Schaltung

Bei einer derartigen „Dreieck-Stern-Umwandlung“ werden sowohl die Anordnungen wie auch die Bezeichnungen der Widerstände geändert. Die Zuordnung geschieht dabei wie bei einem geometrischen Rechteck, bei dem beispielsweise die Dreieck-Seite $c$ dem Punkt $C$ gegenüberliegt.

Die Werte der durch eine Dreieck-Stern-Umwandlung resultierenden Widerstände können folgendermaßen berechnet werden:

$R_1^{*} &= \frac{R_2 \cdot R_3}{R_1 + R_2 + R_3} \\[4pt] R_2^{*} &= \frac{R_1 \cdot R_3}{R_1 + R_2 + R_3} \\[4pt] R_3^{*} &= \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$

Die resultierenden Widerstandswerte sind somit jeweils gleich dem Produkt der beiden anliegenden Widerstände, geteilt durch die Summe aller drei Widerstände.
Die Umwandlung kann bei Bedarf auch in der umgekehrten Richtung vorgenommen werden. Für die Werte der durch eine Stern-Dreieck-Umwandlung resultierenden Widerstände gilt entsprechend:

$R_1 &= R_2^{\,*} + R_3^{*} + \frac{R_2^{*} \cdot R_3^{*}}{R_1^{*}} \\[4pt] R_2 &= R_1^{\,*} + R_3^{*} + \frac{R_1^{*} \cdot R_3^{*}}{R_2^{*}} \\[4pt] R_3 &= R_1^{\,*} + R_2^{*} + \frac{R_1^{*} \cdot R_2^{*}}{R_3^{*}}$

Beispiel:

In der am Anfang dieses Abschnitts abgebildeten Stern-Dreieck-Beispielschaltung soll für $R_1 = R_2 = \unit[10]{\Omega}$ , $R_3 = \unit[20]{\Omega}$ und $R_4 = R_5 = \unit[50]{\Omega}$ gelten. Wie groß ist in diesem Fall der Gesamtwiderstand $R_{\mathrm{Ges}}$ dieser Schaltung?

Beispielschaltung für Dreieck-Stern-Umwandlungen (Lösung).

SVG: Dreieck-Stern-Beispielschaltung (Lösung)

Nimmt man für Anordnung der Widerstände $R_1$ , $R_2$ und $R_3$ eine Dreieck-Stern-Umwandlung vor, so erhält man eine Schaltung, die sich auf eine Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen zurückführen lässt. Für die „neuen“ Widerstandswerte $R_1^{*}$ , $R_2^{*}$ und $R_3^{*}$ gilt dabei:

$R_1^{*} &= \frac{R_2 \cdot R_3}{R_1 + R_2 + R_3} = \unit[\frac{10 \cdot 20}{10 + 10 + 20}]{\Omega} = \unit[5,0]{\Omega} \\[4pt] R_2^{*} &= \frac{R_1 \cdot R_3}{R_1 + R_2 + R_3} = \unit[\frac{10 \cdot 20}{10 + 10 + 20}]{\Omega} = \unit[5,0]{\Omega} \\[4pt] R_3^{*} &= \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2 + R_3} = \unit[\frac{10 \cdot 10}{10 + 10 + 20}]{\Omega} = \unit[2,5]{\Omega}$

Nach der Umwandlung sind die Widerstände $R_1^{*}$ und $R_5$ sowie die Widerstände $R_2^{*}$ und $R_4$ in Reihe geschalten. Da in diesem Fall $R_1^{*}$ und $R_2^{*}$ beide den Wert $\unit[5,0]{\Omega}$ sowie $R_4$ und $R_5$ beide den Wert $\unit[50]{\Omega}$ haben, ergibt sich für die beiden Ersatzwiderstände $R_{\mathrm{15}}$ und $R_{\mathrm{24}}$ :

$R_{\mathrm{15}} &= R_1^{*} + R_5 = \unit[5,0]{\Omega} + \unit[50]{\Omega} = \unit[55]{\Omega} \\ R_{\mathrm{25}} &= R_2^{*} + R_5 = \unit[5,0]{\Omega} + \unit[50]{\Omega} = \unit[55]{\Omega} \\$

Die Ersatz-Widerstände $R_{\mathrm{15}}$ und $R_{\mathrm{24}}$ sind parallel zueinander geschaltet; für den zugehörigen Ersatz-Widerstand $R_{\mathrm{1245}}$ ergibt sich damit:

$R_{\mathrm{1245}} = \frac{1}{\frac{1}{R_{24}} + \frac{1}{R_{35}} } = \unit[\frac{1}{\frac{1}{55} + \frac{1}{55}}]{\Omega} = \unit[27,5]{\Omega}$

Dieser Ersatzwiderstand ist schließlich in Reihe mit $R_3^{*}$ geschaltet; somit ergibt sich als Gesamt-Widerstand $R_{\mathrm{Ges}} = R_3^{*} + R_{\mathrm{1245}} = \unit[(2,5+ 27,5)]{\Omega} = \unit[30]{\Omega}$ .

Stern-Dreieck-Umwandlung bei Kondensatoren

Kondensatoren verhalten sich bei Reihen- beziehungsweise Parallelschaltungen genau umgekehrt wie Widerstände: Bei Parallelschaltungen addieren sich ihre Kapazitätswerte, bei Reihenschaltungen hingegen die Kehrwerte ihrer Kapazitäten.

fig-stern-und-dreick-schaltung mit-kondensatoren

Symbolhafte Darstellung einer Dreieck- und einer zugehörigen Stern-Schaltung mit Kondensatoren.

SVG: Dreieck- und Stern-Schaltung mit Kondensatoren

Man kann dennoch das Prinzip der Stern-Dreieck-Umwandlung auch auf Kondensatoren übertragen, wenn man mit den Kehrwerten ihrer Kapazitäten beziehungsweise mit den entsprechenden Blindwiderständen rechnet $R_{\mathrm{C}}$ der einzelnen Kondensatoren rechnet.[3] Man erhält dabei folgende Umrechnungen:

Bei einer Dreieck-Stern-Umwandlung von Kondensatoren können die resultierenden Werte der Kapazitäten folgendermaßen berechnet werden:

$C_1^{*} &= \frac{C_1 \cdot C_2 + C_1 \cdot C_3 + C_2 \cdot C_3}{C_1} \\[4pt] C_2^{*} &= \frac{C_1 \cdot C_2 + C_1 \cdot C_3 + C_2 \cdot C_3}{C_2} \\[4pt] C_3^{*} &= \frac{C_1 \cdot C_2 + C_1 \cdot C_3 + C_2 \cdot C_3}{C_3}$
Für die Werte der durch eine Stern-Dreieck-Umwandlung resultierenden Kapazitäten gilt entsprechend:

$C_1 &= \frac{C_2^{*} \cdot C_3^{*}}{C_1^{*} + C_2^{*} + C_3^{*}} \\[4pt] C_2 &= \frac{C_1^{*} \cdot C_3^{*}}{C_1^{*} + C_2^{*} + C_3^{*}} \\[4pt] C_3 &= \frac{C_1^{*} \cdot C_2^{*}}{C_1^{*} + C_2^{*} + C_3^{*}}$

Auch bei Kondensatoren werden Stern-Dreieck- beziehungsweise Dreieck-Stern-Umwandlungen so lange durchgeführt, bis sich aus den resultierenden Ersatz-Kapazitäts-Werten eine Schaltung ergibt, die nur noch aus Reihen- und/oder Parallelschaltungen von Kondensatoren besteht.

Anmerkungen:

[1]

Dies ist in der Praxis von Nutzen, wenn weitere (Verbraucher-)Widerstände parallel zu einem bestehenden Stromkreis geschaltet werden: Die Spannung $U$ bleibt dabei unverändert, der Gesamt-Widerstand nimmt ab und die nötige Stromstärke steigt. Um eine Batterie beziehungsweise einen Akkumulator nicht zu überlasten, wird auch die bestehende Stromquelle um eine oder mehrere (meist gleichartig gebaute) parallel geschaltene Stromquellen erweitert.

[2]

Die gespeicherte Energiemenge einer Batterie oder eines Akkumulators ist gleich $E = U \cdot I \cdot t$ , wobei $t$ die Entladungszeit angibt. Bei einer Parallelschaltung bleibt die Spannung $U$ unverändert. Die gleiche Energiemenge $E$ entlädt sich somit aufgrund der niedrigeren Stromstärke $I$ über einen entsprechend längeren Zeitraum $t$ .

[3]

Für den Blindwiderstand $R_{\mathrm{C}}$ eines Kondensators mit einer Kapazität $C$ gilt (bei Wechselströmen):

$R_{\mathrm{C}} = \frac{1}{\omega \cdot C}$

Die Frequenz $\omega$ des Wechselstroms ist bei einer Stern-Dreieck-Umwandlung eine Konstante und kann bei der Umwandlung „ausgeklammert“ werden.

Hinweis

Zu diesem Abschnitt gibt es Übungsaufgaben.

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