Reihen- und Parallelschaltungen¶
Im folgenden wird behandelt, welche Auswirkungen sich durch eine Reihen- oder Parallelschaltung mehrerer Widerstände, Stromquellen oder Kondensatoren ergeben.
Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen¶
In (fast) jedem Stromkreis befinden sich mehrere Verbraucher, also elektrische Widerstände. Wie diese in ihrer Gesamtheit wirken, hängt davon ab, ob sie parallel oder in Reihe geschaltet sind.
Reihenschaltung von Widerständen
Bei einer Reihenschaltung von Widerständen ist der Gesamtwiderstand
gleich der Summe der Einzelwiderstände
:
(1)¶
Werden beispielsweise drei Widerstände der Größe
in Reihe geschaltet, so wirken sie zusammen wie ein Widerstand der Größe
.
Die an einer Reihenschaltung anliegende Gesamtspannung
teilt sich gemäß der Maschenregel in
Teilspannungen
auf. Dabei ist die Gesamtspannung
gleich der Summe der einzelnen Teilspannungen:
(2)¶
Die Stromstärke , die mehrere in Reihe geschaltete
Widerstände durchfließt, ist an allen Stellen der Reihenschaltung gleich. Somit
gilt:
(3)¶
Diese Tatsache wird unter anderem zur Stromstärkemessung genutzt, indem ein Amperemeter an einer beliebigen Stelle in den zu untersuchenden (Teil-)Stromkreis als Reihenschaltung eingefügt wird.
Ist der Widerstandswert eines Widerstands einer Reihenschaltung
bekannt, kann mit Hilfe der obigen Formeln und des Ohmschen Gesetzes auf die am Widerstand anliegende Spannung
beziehungsweise auf die durch den Widerstand fließende Stromstärke
geschlossen werden:
Parallelschaltung von Widerständen
Bei einer Parallelschaltung von Widerständen addieren sich die
Kehrwerte der Einzelwiderstände
zum Kehrwert des
Gesamtwiderstandes
auf:
(4)¶
Werden beispielsweise drei Widerstände der Größe
parallel zueinander geschaltet, so ergibt sich für den Kehrwert des
Gesamtwiderstands
. Der
Gesamtwiderstand beträgt somit
.
An allen Widerständen einer Parallelschaltung liegt die gleiche
Spannung an. Diese ist gleich der Gesamtspannung
:
(5)¶
Diese Tatsache wird unter anderm zur Spannungsmessung genutzt, indem ein Voltmeter parallel zum untersuchten (Teil-)Stromkreis beziehungsweise Bauteil geschalten wird.
Die Stromstärke teilt sich bei einer Parallelschaltung
gemäß der Knotenregel auf
Teilstromstärken
auf:
(6)¶
Ist der Widerstandswert eines Widerstands einer Parallelschaltung
bekannt, kann wiederum mit Hilfe der obigen Formeln und des Ohmschen
Gesetzes auf die am Widerstand anliegende Spannung
beziehungsweise auf die durch den Widerstand fließende Stromstärke
geschlossen werden:
Reihen- und Parallelschaltung von Stromquellen¶
Um in einem Stromkreis eine höhere Spannung oder eine größere nutzbare Stromstärke herbeizuführen, können auch mehrere Stromquellen (z.B. Batterien, Akkumulatoren oder Solarzellen) in Reihe oder parallel zueinander geschalten werden.
Reihenschaltung von Stromquellen
Werden Stromquellen in Reihe geschaltet, so addieren sich ihre
einzelnen Spannungswerte
zu
einer Gesamtspannung
:
Diese Gleichung ist formal mit Gleichung (2) identisch. Der Unterschied liegt in der entgegengesetzten Wirkungsweise von Stromquellen und Widerständen:
- In einer Reihenschaltung wird durch das Hinzufügen eines zusätzlichen
Widerstands
die an den übrigen Verbrauchern anliegende Spannung auf
reduziert.
- In einer Reihenschaltung wird durch das Hinzufügen einer zusätzlichen
Stromquelle
die an den übrigen Verbrauchern anliegende Spannung auf
erhöht.
Schaltet man gleichartige Stromquellen in Reihe, so weist die
resultierende Stromquelle eine
-fache Spannung auf.
Parallelschaltung von Stromquellen
Werden Stromquellen parallel zueinander geschaltet, so reduzieren sich
die Teilstromstärken
, die jede
einzelne Stromquelle zur gesamten Stromstärke
beisteuert.
Diese Gleichung ist formal mit Gleichung (6) identisch. An dieser Stelle hat sie zweierlei gleichsam gültige Wirkungen zur Folge:
- Wird eine Stromquelle, die eine maximale Stromstärke
liefern kann, parallel zu einer bestehenden Stromquelle geschaltet, so erhöht sich die insgesamt mögliche Stromstärke auf
.[1]
- Wird eine weitere Stromquelle
parallel zu einem bestehenden Stromkreis geschaltet, so wird die bisherige Stromquelle auf
„entlastet“. Bei Stromquellen mit einem begrenzten Energiespeicher, beispielsweise Batterien und Akkumulatoren, wird dadurch die Entladezeit („Lebensdauer“) entsprechend erhöht.[2]
Bei einer Parallelschaltung von gleichartigen Stromquellen wird die
maximal mögliche Stromstärke um das
-fache erhöht beziehungsweise die
einzelnen von den Stromquellen bereitgestellten (Teil-)Stromstärken um das
-fache reduziert.
Reihen- und Parallelschaltung von Kondensatoren¶
Kondensatoren gehören ebenfalls zu den häufig verwendeten elektronischen
Bauteilen. Durch eine Reihen- oder Parallelschaltung mehrerer Kondensatoren
lässt sich ihre charakteristische Größe, die Kapazität ,
beeinflussen.
Reihenschaltung von Kondensatoren
Werden Kondensatoren in Reihe geschaltet, so werden bei Anlegen der
Spannung
alle mit der gleichen Stromstärke
auf eine
Ladungsmenge
aufgeladen.
Wie bei Reihenschaltungen üblich, addieren sich dabei die an den einzelnen
Kondensatoren abfallenden Teilspannungen , die sich mit
Hilfe der allgemeinen Kondensator-Formel
als
ausdrücken lassen:
Um herauszufinden, wie mehrere Kondensatoren in ihrer Gesamtheit wirken, d.h.
welche Gesamt-Kapazität sich aus der Reihenschaltung
der
einzelnen Kondensatoren
ergibt, muss man
beide Seiten der obigen Gleichung durch die konstante Ladung
teilen.
Die linke Seite der Gleichung entspricht dann der Gesamtkapazität
, die rechte Seite der Summe
aller Kehrwerte der einzelnen Kondensatoren:
(7)¶
Wird zu einem bestehenden Kondensator ein weiterer in Reihe geschaltet, so nimmt die Gesamtkapazität ab. Kondensatoren verhalten sich in einer Reihenschaltung somit ähnlich wie Widerstände in einer Parallelschaltung.
Parallelschaltung von Kondensatoren
Werden Kondensatoren parallel zueinander geschaltet, so liegt an
allen die gleiche Spannung
an. Der Gesamtstrom
teilt sich in
Teilströme auf, wodurch die einzelnen Kondensatoren mit
unterschiedlichen Ladungen
geladen werden.
Mit Hilfe der allgemeinen Kondensator-Formel lässt sich
die Gesamt-Kapazität
direkt ausdrücken:
Die einzelnen Quotienten entsprechen dabei den einzelnen
Kapazitäten
der parallel zueinander geschalteten
Kondensatoren. Somit gilt:
(8)¶
Eine Parallelschaltung zweier oder mehrerer Kondensatoren gleicht somit einem einzigen Kondensator mit einer entsprechend größeren Kapazität. Kondensatoren verhalten sich in einer Parallelschaltung somit ähnlich wie Widerstände in einer Reihenschaltung.
Stern-Dreieck-Umwandlung¶
Um in einem Stromkreis mit mehreren Widerständen die einzelnen auftretenden Stromstärken und Spannungen zu bestimmen, können diese schrittweise durch Ersatz-Widerstände für Reihen- und Parallelschaltungen von Widerständen ersetzt werden. Bisweilen können allerdings auch Schaltungen auftreten, bei denen eine solche Ersetzung nicht unmittelbar möglich ist. Eine solche Schaltung ist in der folgenden Abbildung beispielhaft gezeigt:
Bei der obigen Beispiel-Schaltung kann man beispielsweise nicht unmittelbar
sagen, ob der Widerstand nun in Reihe oder parallel zu den übrigen
Widerständen geschaltet ist. In so einem Fall ist es jedoch möglich, eine
„dreieckige“ Schaltung in eine „sternförmige“ umzuwandeln:
Bei einer derartigen „Dreieck-Stern-Umwandlung“ werden sowohl die Anordnungen
wie auch die Bezeichnungen der Widerstände geändert. Die Zuordnung geschieht
dabei wie bei einem geometrischen Rechteck, bei dem beispielsweise die
Dreieck-Seite dem Punkt
gegenüberliegt.
Die Werte der durch eine Dreieck-Stern-Umwandlung resultierenden Widerstände können folgendermaßen berechnet werden:
Die resultierenden Widerstandswerte sind somit jeweils gleich dem Produkt der beiden anliegenden Widerstände, geteilt durch die Summe aller drei Widerstände.
Die Umwandlung kann bei Bedarf auch in der umgekehrten Richtung vorgenommen werden. Für die Werte der durch eine Stern-Dreieck-Umwandlung resultierenden Widerstände gilt entsprechend:
Beispiel:
In der am Anfang dieses Abschnitts abgebildeten Stern-Dreieck-Beispielschaltung soll für
,
und
gelten. Wie groß ist in diesem Fall der Gesamtwiderstand
dieser Schaltung?
Nimmt man für Anordnung der Widerstände
,
und
eine Dreieck-Stern-Umwandlung vor, so erhält man eine Schaltung, die sich auf eine Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen zurückführen lässt. Für die „neuen“ Widerstandswerte
,
und
gilt dabei:
Nach der Umwandlung sind die Widerstände
und
sowie die Widerstände
und
in Reihe geschalten. Da in diesem Fall
und
beide den Wert
sowie
und
beide den Wert
haben, ergibt sich für die beiden Ersatzwiderstände
und
:
Die Ersatz-Widerstände
und
sind parallel zueinander geschaltet; für den zugehörigen Ersatz-Widerstand
ergibt sich damit:
Dieser Ersatzwiderstand ist schließlich in Reihe mit
geschaltet; somit ergibt sich als Gesamt-Widerstand
.
Stern-Dreieck-Umwandlung bei Kondensatoren
Kondensatoren verhalten sich bei Reihen- beziehungsweise Parallelschaltungen genau umgekehrt wie Widerstände: Bei Parallelschaltungen addieren sich ihre Kapazitätswerte, bei Reihenschaltungen hingegen die Kehrwerte ihrer Kapazitäten.
Man kann dennoch das Prinzip der Stern-Dreieck-Umwandlung auch auf Kondensatoren
übertragen, wenn man mit den Kehrwerten ihrer Kapazitäten beziehungsweise mit
den entsprechenden Blindwiderständen
rechnet der einzelnen Kondensatoren rechnet.[3] Man
erhält dabei folgende Umrechnungen:
Bei einer Dreieck-Stern-Umwandlung von Kondensatoren können die resultierenden Werte der Kapazitäten folgendermaßen berechnet werden:
Für die Werte der durch eine Stern-Dreieck-Umwandlung resultierenden Kapazitäten gilt entsprechend:
Auch bei Kondensatoren werden Stern-Dreieck- beziehungsweise Dreieck-Stern-Umwandlungen so lange durchgeführt, bis sich aus den resultierenden Ersatz-Kapazitäts-Werten eine Schaltung ergibt, die nur noch aus Reihen- und/oder Parallelschaltungen von Kondensatoren besteht.
Anmerkungen:
[1] | Dies ist in der Praxis von Nutzen, wenn weitere (Verbraucher-)Widerstände
parallel zu einem bestehenden Stromkreis geschaltet werden: Die Spannung
![]() |
[2] | Die gespeicherte Energiemenge einer Batterie oder eines Akkumulators ist
gleich ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
[3] | Für den Blindwiderstand Die Frequenz |
Hinweis
Zu diesem Abschnitt gibt es Übungsaufgaben.