Wurfbewegungen¶
Im folgenden Abschnitt werden zunächst eindimensionale, später auch zweidimensionale Wurfbewegungen näher beschrieben. Als Vereinfachung soll dabei der Luftwiderstand vernachlässigt werden.
Alle Wurfbewegungen haben die Gemeinsamkeit, dass die geworfenen Objekte eine
Beschleungigung von („Erdbeschleunigung“) in
Richtung des Erdmittelpunkts erfahren. Die einzelnen Wurfbewegungen
unterscheiden sich also lediglich hinsichtlich ihrer Startbedingungen.
Freier Fall¶
Als „freien Fall“ bezeichnet man einen Bewegungsvorgang, bei dem ein Objekt mit
einer Anfangsgeschwindigkeit von in einer Höhe
startet und konstant mit der Erdbeschleunigung
beschleunigt wird; der Luftwiderstand wird dabei
vernachlässigt.
Durch die konstante Beschleunigung wird das fallende Objekt mit der Zeit
kontinuierlich beschleunigt. Beginnt der Vorgang zur Zeit , so gilt
für die Geschwindigkeit
des Objekts in Abhängigkeit von der Zeit:
Für die zurückgelegte Wegstrecke beziehungsweise den Ort
gilt entsprechend mit
:
Beim Aufprall auf dem Boden gilt ; daraus lässt sich die Falldauer
beziehungsweise die Geschwindigkeit
beim Aufprall
berechnen:
Gilt für die konstante Beschleunigung
, so ist die (Halb-)Parabel nach unten hin geöffnet.
- Ohne Anfangsgeschwindigkeit
findet eine beschleunigte Bewegung in negative
-Richtung statt.
- Mit einer Anfangsgeschwindigkeit
ergibt sich ein kontinuierliches Abbremsen, wobei der Scheitel der Halbparabel den Bremsweg angibt:
Bleibt nach einem vollständigen Abbremsen – wie bei einem senkrechten Wurf nach oben – die Beschleunigung
weiterhin bestehen, so findet anschließend eine beschleunigte Bewegung in negativer
-Richtung statt. Kann der Luftwiderstand vernachlässigt werden, so spricht man bei diesem Vorgang von einem „freien Fall“ mit
und
.
- Ohne Anfangsgeschwindigkeit
Beispiel:
Der Schacht eines Brunnens hat eine Tiefe von
. Wie lange dauert es, bis aus der Höhe
fallender ein Stein im freien Fall (ohne Luftwiderstand) am Grund des Schachtes ankommt? Wie groß ist seine Geschwindigkeit
beim Aufprall?
Die Bewegung des Steins entspricht einem freien Fall mit der Beschleunigung
und der Anfangsgeschwindigkeit
. Für die vom Stein zurückgelegte Wegstrecke
gilt dabei:
Der Vorgang endet, wenn eine Strecke von
durchlaufen wurde (das negative Vorzeichen ergibt sich, wenn eine Bewegung nach oben als „positiv“ deklariert wird). Für die Fallzeit
gilt also:
In dieser Zeit erreicht der Stein folgende Geschwindigkeit:
Der Stein erreicht beim Aufprall unter Vernachlässigung des Luftwiderstands somit eine Geschwindigkeit von rund
; das entspricht rund
.
Senkrechter Wurf nach oben¶
Wird ein Objekt senkrecht nach oben geworfen, so startet es in der
-Richtung mit einer positiven Anfangsgeschwindigkeit
;
gleichzeitig wird es durch die Erdbeschleunigung in die entgegengesetzte
Richtung beschleunigt. Beginnt der Vorgang wiederum zur Zeit
, so
gilt für die Geschwindigkeit
des Objekts in Abhängigkeit von der
Zeit:
Als Annahme soll zunächst gelten, dass das Objekt in einer Höhe von abgeworfen wird. Dann gilt für den Ort
in Abhängigkeit von der
Zeit:
Aus den beiden obigen Gleichungen kann man die maximale Steighöhe berechnen. Die zum Erreichen dieser Höhe benötigte Zeit
lässt sich anhand der ersten Gleichung bestimmen; an
diesem Punkt ist nämlich die Geschwindigkeit des Objekts gleich Null:
Setzt man diesen Term für in die zweite Gleichung ein,
so kann man entsprechend die maximale Steighöhe
berechnen:
Nach der doppelten Zeit, also , kommt das
Objekt wieder auf dem Boden an. Dies kann man beispielsweise überprüfen,
indem man in der Weg-Zeit-Gleichung
setzt und die Gleichung
nach
auflöst. (Der Luftwiderstand wird dabei vernachlässigt.)
Die Wegstrecke wird beim Herunterfallen in der gleichen Weise durchlaufen wie
beim Hochwerfen, nur zeitlich umgekehrt. Entsprechend ist auch die
Geschwindigkeit des Objekts, sofern kein Luftwiderstand auftritt, vor
Aufprall wieder gleich der ursprünglichen Geschwindigkeit .
Senkrechter Wurf nach unten¶
Kann ein geworfenes Objekt – beispielsweise im Anschluss an einen
senkrechten Wurf nach oben – nach dem Erreichen seiner Ausgangslage weiter
herab fallen, so führt ab diesem diesem Zeitpunkt einen so genannten senkrechten
Wurf nach unten aus; seine Anfangsgeschwindigkeit beträgt dabei .
Für die Geschwindigkeit des Objekts gilt in Abhängigkeit von
der Zeit
:
Für den Ort des Objekts gilt im zeitlichen Verlauf entsprechend:
Das Koordinatensystem wurde ursprünglich so festgelegt, dass sich der Nullpunkt
der -Achse in Höhe der Abwurfstelle, also in einer Höhe
über dem Boden befindet. Das Objekt kann beim
senkrechten Wurf nach unten somit maximal die Wegstrecke
zurücklegen; erreicht es den Boden, so ist
:
Damit erhält man als Gleichung:
Diese quadratische Gleichung für kann folgendermaßen
mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen gelöst werden:
Setzt man diese Zeit in die Geschwindigkeit-Zeit-Gleichung ein, so
folgt für die Geschwindigkeit
des Gegenstands unmittelbar vor dem
Aufprall auf den Boden:
Gilt im Speziellen für die Anfangsgeschwindigkeit , so entspricht
das Ergebnis
der Geschwindigkeit des
Objekts beim freien Fall.
Waagrechter Wurf¶
Wird ein Objekt von einer erhöhten Position
aus waagrecht geworfen, so bewegt er sich – unter Vernachlässigung des
Luftwiderstands – entlang der horizontalen
-Richtung mit seiner
ursprünglichen Geschwindigkeit
fort. In
der vertikalen Richtung findet gleichzeitig eine gleichmäßig beschleunigte
Bewegung entgegen der
-Achse statt; die Anfangsgeschwindigkeit in
dieser Richtung ist
.
Für den Vektor der Geschwindigkeit gilt somit in Abhängigkeit
von der Zeit
:
Die maximale Flugzeit lässt sich aus der
-Komponente des zurückgelegten Weges bestimmen: Gilt
, so ist das Objekt auf dem Boden aufgekommen. Für die zugehörige Zeit
gilt somit:
Mit diesem Ergebnis lässt sich aus der -Komponente der Bewegung die
maximale Wurfweite
bestimmen:
Schräger Wurf¶
Bei einem schrägen Wurf wird ein Objekt in einem Winkel
gegenüber der Horizontalen abgeworfen
.
Für die Komponenten
und
der Geschwindigkeit
des Objekts gilt beim Abwurf:
Ohne Luftwiderstand bleibt die horizontale Komponente der Geschwindigkeit
unverändert. In vertikaler Richtung wird das Objekt hingegen – wie beim
senkrechten Wurf nach oben – mit der Beschleunigung
zum Erdmittelpunkt hin beschleunigt. Für die Geschwindigkeit
gilt somit in Abhängigkeit von der Zeit
:
Es findet also eine Überlagerung einer Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit
in -Richtung und einer Bewegung mit konstanter Beschleunigung in
-Richtung statt. Für die in beiden Richtungen zurückgelegten
Wegstrecken
und
gilt:
Im Folgenden wird wiederum zunächst angenommen, dass das Objekt aus einer Höhe
geworfen wird. Wie beim senkrechten Wurf
gilt dann für die Zeit
, in welcher der Körper die maximale Steighöhe
erreicht:
Setzt man diese Zeit in die Bewegungsgleichung für die -Komponente
ein, so folgt für die maximale Steighöhe
:
Die Wurfbahn ist (ohne Luftwiderstand) parabelförmig und damit symmetrisch; die
Zeit bis zum Aufprall auf dem Boden muss somit doppelt so lang sein wie die Zeit
zum Erreichen der maximalen Steighöhe. In dieser Zeit
erreicht das Objekt in horizontaler Richtung folgende Entfernung:
Hierbei wurde im letzten Rechenschritt das Additionstheorem für Sinus-Funktionen
genutzt. Die Wurfweite ist also – ebenfalls wie die Wurfhöhe – vom
Wurfwinkel abhängig. Für
ist im
obigen Fall
und somit die
Wurfweite maximal
.