Zusammenwirken mehrerer Kräfte

Wirken mehrere Kräfte auf einen Körper ein, so kann man sich diese als zu einer Gesamtkraft zusammengesetzt denken. Die Gesamtkraft F_{\mathrm{ges}} hat auf den Körper die gleiche Wirkung wie die gemeinsame Wirkung der n einzelnen (Teil-)Kräfte.

(1)\vec{F}_{\mathrm{ges}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \ldots + \vec{F}_{\mathrm{n}}

Will man die Wirkung mehrerer Kräfte auf einen Körper angeben, müssen Betrag und Richtung jeder Kraft bekannt sein.

Zusammenwirken mehrerer Kräfte mit gleicher Richtung

Wirken zwei Teilkräfte in die gleiche Richtung, so erhält man die Gesamtkraft, indem man die Beträge der Teilkräfte addiert. Die Gesamtkraft zeigt in die gleiche Richtung wie die einzelnen Teilkräfte.

Beispiel:

  • Die Gewichtskraft, die ein Stapel Teller auf eine Unterlage ausübt, ist gleich der Summe der Gewichtskräfte der einzelnen Teller.
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Kraftaddition mehrerer Teilkräfte zu einer Gesamtkraft.

SVG: Kraftaddition (gleiche Richtung)

Wirken zwei Teilkräfte in die entgegengesetzte Richtung, so erhält man die Gesamtkraft, indem man die Differenz aus den Beträgen der Teilkräfte bildet. Die Gesamtkraft zeigt in Richtung der größeren der beiden Teilkräfte.

Beispiel:

  • Zieht beim Seilziehen eine Gruppe stärker als die andere, so bewegen sich alle Teilnehmer in die Richtung der stärkeren Kraft. Die Gesamtkraft, mit der alle Teilnehmer beschleunigt werden, ist gleich dem Kraftunterschied beider Gruppen. (Ziehen beide Gruppen gleich stark, so sind beide Kräfte im Gleichgewicht, und kein Körper wird beschleunigt.)
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Kraftaddition mehrerer Kräfte mit entgegengesetzter Richtung.

SVG: Kraftaddition (entgegengesetzte Richtung)

Zusammenwirken mehrerer Kräfte mit unterschiedlicher Richtung

Wirken an einem Punkt mehrere Kräfte in unterschiedlicher Richtung, so sind für die Bestimmung der resultierenden Kraft die Beträge wie auch die Richtungen der einzelnen Teilkräfte zu berücksichtigen. In Zeichnungen lassen sich die wirkenden Teilkräfte wiederum als Vektorpfeile darstellen; dabei müssen die Längen der Vektoren zueinander in einem frei wählbaren Maßstab den Beträgen der einzelnen Kräfte entsprechen.

Beispiel:

  • Soll ein Schiff von einem anderen ohne Abdrift über einen Fluss gezogen werden, so muss die Kraft des ziehenden Schiffes auch die Schubkraft des fließenden Wassers ausgleichen.
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Kraftaddition mehrerer Kräfte mit unterschiedlichen Richtungen.

SVG: Kraftaddition (unterschiedliche Richtungen)

Die sich aus zwei Teilkräften ergebende Gesamtkraft kann zeichnerisch ermittelt werden, indem beide Vektorpfeile addiert werden, d.h. der Anfangspunkt des einen Vektors an die Spitze des anderen Vektors verschoben wird. Die Verbindungslinie vom gemeinsamen Angriffspunkt zum sich so ergebenden Endpunkt entspricht dann der resultierenden Gesamtkraft.[1]

Rechnerisch erhält man die sich aus zwei Teilkräften \vec{F}_1 und \vec{F}_2 ergebende Gesamtkraft \vec{F}_{\mathrm{ges}}, indem man die einzelnen Komponenten beider Kraftvektoren miteinander addiert:

\vec{F}_1 + \vec{F}_2 = \begin{pmatrix} F_{\mathrm{x,1}} \\ F_{\mathrm{y,1}} \\ F_{\mathrm{z,1}} \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} F_{\mathrm{x,2}} \\ F_{\mathrm{y,2}} \\ F_{\mathrm{z,2}} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_{\mathrm{x,1}} + F_{\mathrm{x,2}} \\ F_{\mathrm{y,1}} + F_{\mathrm{y,2}} \\ F_{\mathrm{z,1}} + F_{\mathrm{z,2}} \\ \end{pmatrix}

Der Betrag der wirkenden Gesamtkraft ist auch hierbei gleich dem Betrag des Ergebnisvektors, der sich gemäß folgender Formel berechnen lässt:

F_{\mathrm{ges}} = |\vec{F} _{\mathrm{ges}}| = \sqrt{F_{\mathrm{ges,x}}^2 + F _{\mathrm{ges,y}}^2 + F_{\mathrm{ges,3}}^2}

Zerlegung einer Kraft in Teilkräfte

In gleicher Art und Weise, wie sich mehrere Kräfte zu einer Gesamtkraft addieren lassen, kann man eine Kraft auch in mehrere Teilkräfte aufteilen, die gemeinsam eine gleiche Wirkung hervorrufen.

Beispiel:

  • Eine Straßenlampe wird von zwei Halteseilen getragen. Diese können nur Zugkräfte vermitteln, d.h. die Teilkräfte \vec{F}_1 und \vec{F}_2 in den Seilen müssen entlang der Seilrichtungen verlaufen; die Summe beider Teilkräfte wiederum muss der Gewichtskraft \vec{F}_{\mathrm{G}} der Lampe entsprechen.
fig-kraftzerlegung

Kraftzerlegung einer Kraft in zwei Teilkräfte.

SVG: Kraftzerlegung

Um eine Kraft in zwei gegebene Richtungen zu zerlegen, zeichnet man vom Anfangs- und Endpunkt der Kraft Parallelen zu diesen Richtungen. Das entstehende Parallelogramm ergibt die gesuchten Teilkräfte \vec{F} _1 und \vec{F} _2.

fig-kraftzerlegung-bei-bekannten-winkeln

Kraftzerlegung einer Kraft bei bekannten Winkeln \alpha und \beta.

SVG: Kraftzerlegung bei bekannten Winkeln

Kennt man die Winkel \alpha und \beta zwischen der zu zerlegenden Kraft \vec{F} und den beiden Teilkräften \vec{F}_1 und \vec{F}_2, so gilt für die Beträge F_1 und F_2 der Teilkräfte:

F_1 = F \cdot \frac{\sin{(\beta)}}{\sin{(\alpha + \beta)}} \\[6pt] F_2 = F \cdot \frac{\sin{(\alpha)}}{\sin{(\alpha + \beta)}} \\[6pt]

Betragsmäßig ist die Summe F_1 + F_2 der Teilkraftbeträge, sofern die Winkel \alpha bzw. \beta nicht gleich Null sind, stets größer als der Betrag F der zu zerlegenden Kraft.

Anmerkungen:

[1]Wirken an einem gemeinsamen Angriffspunkt mehr als zwei Kräfte in unterschiedliche Richtungen, so kann die resultierende Gesamtkraft graphisch ermittelt werden, indem alle Vektorpfeile durch paralleles Verschieben so miteinander verbunden werden, dass der Anfangspunkt des zweiten Vektors am Endpunkt des ersten liegt, der Anfangspunkt des dritten Vektors am Endpunkt des zweiten liegt, usw. Der Vektor vom Anfangspunkt der Vektorkette zu ihrem Endpunkt entspricht der wirkenden Gesamtkraft.

Hinweis

Zu diesem Abschnitt gibt es Experimente und Übungsaufgaben.