Bedingte Wahrscheinlichkeit¶
Definition:
Bei einem Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge
werden zwei Ereignisse
und
mit
betrachtet. Dann bezeichnet man folgenden Ausdruck als bedingte Wahrscheinlichkeit von
unter der Bedingung
:
Handelt es sich bei
und
um Laplace-Wahrscheinlichkeiten, so gilt:
Die obige Definition lässt sich auch, insbesondere bei der Nutzung von
Baumdiagrammen, als Produktsatz formulieren. Es gilt für die
Wahrscheinlichkeit, dass sowohl als auch
eintreten:
Für bedingte Wahrscheinlichkeiten gelten zudem folgende Regeln:
- Multiplikationsregel: In einem Ergebnisbaum stellt jeder Knoten ein Elementarereignis dar. Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses entspricht dabei dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse längs des zugehörigen Weges.
- Additionsregel: Besteht ein Ereignis in einem Ereignisbaum aus mehreren Wegen, so ist die zugehörige Wahrscheinlichkeit gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Wege.
Stochatisch unabhängige Ereignisse
Ein Ereignis ist von einem Ereignis
unabhängig, wenn
auf die Wahrscheinlichkeit von
keinen Einfluss hat.
Definition:
Ist
die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments und
und
zwei Ereignisse mit
, so nennt man
stochastisch unabhängig von
, wenn gilt:
Andernfalls heißt
stochastisch abhängig von
.
Ist ein Ereignis stochastisch unabhängig vom Ereignis
,
so ist umgekehrt auch
stochastisch unabhängig von
, denn
in diesem Fall gilt:
Als Sonderfall von stochastischer Unabhängigkeit gilt stets auch dann, wenn die Wahrscheinlichkeit von mindestens
einem der beiden Ereignisse gleich Null ist. Allgemein gilt für alle
stochastisch unabhängigen Ereignisse:
Sind zwei Ereignisse und
stochastisch unabhängig, so
gilt dies auch für die Gegenereignisse. In diesem Fall sind somit auch die
Ereignisse
,
sowie
stochastisch unabhängig.