Zusammenfassung wichtiger Ableitungsregeln¶
Im Folgenden sind die wichtigsten Ableitungsregeln der vorherigen Abschnitte nochmals kurz zusammengefasst.
Allgemeine Ableitungsregeln¶
Die folgenden Ableitungsregeln sind allgemein für beliebige Funktionen gültig:
Lässt sich eine Funktion
als Summe einer anderen Funktion
mit einem konstanten Summanden
darstellen, so ist ihre Ableitungsfunktion
mit der Ableitung
der anderen Funktion identisch:
(1)¶
Insbesondere ist die Ableitung beziehungsweise Steigung einer konstanten Funktion
gleich Null.
Lässt sich eine Funktion
als Produkt einer anderen Funktion
mit einem konstanten Faktor
darstellen, so entspricht ihre Ableitungsfunktion
derjenigen der anderen Funktion
, wenn diese mit dem gleichen Faktor
multipliziert wird.
(2)¶
Für jede beliebige Funktion , die man sich aus zwei Teilfunktionen
und
zusammengesetzt denken kann, sind folgende
Ableitungsregeln nützlich:
Additionsregel:
Besteht eine Funktion
aus einer Summe zweier Teilfunktionen
und
, so gilt für ihre Ableitung
:
(3)¶
Produktregel:
Besteht eine Funktion
aus einem Produkt zweier Teilfunktionen
und
, so gilt für ihre Ableitung
:
(4)¶
Quotientenregel:
Besteht eine Funktion
aus einem Quotienten zweier Teilfunktionen
und
, so gilt für ihre Ableitung
:
(5)¶
Kettenregel
Besteht eine Funktion
aus einer Verkettung zweier Teilfunktionen
und
, so gilt für ihre Ableitung
:
(6)¶
Hierbei wird zunächst die Ableitung
der äußeren Funktion gebildet, wobei die innere Funktion unverändert gelassen wird. Der resultierende Term wird anschließend mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert.
Satz von Rolle und Mittelwertsatz¶
Ist eine Funktion in einem Intervall
stetig
differenzierbar und gilt zudem
, so existiert mindestens eine
Stelle
innerhalb des Intervalls, für die
gilt.
Dieser Zusammenhang wird „Satz von Rolle“ genannt.
Anschaulich bedeutet der Satz von Rolle, dass es entlang eines stetig
verlaufenden Graphen zwischen zwei Kurvenpunkten mit übereinstimmenden
-Werten mindestens einen Punkt gibt, an dem der Graph eine waagrechte
Tangente (Steigung Null) besitzt; insbesondere muss sich damit zwischen zwei
Nullstellen einer stetigen Funktion stets eine Extremstelle befinden.
Der Satz von Rolle kann auch allgemeiner formuliert werden: Ist eine Funktion
in einem Intervall
stetig differenzierbar, so
existiert mindestens eine Stelle
innerhalb des Intervalls, für die
gilt:
Dieser so genannte Mittelwertsatz besagt anschaulich, dass es entlang eines
stetig verlaufenden Graphen zwischen zwei Kurvenpunkten stets (mindestens) einen
Punkt gibt, dessen Tangentensteigung gleich der Steigung der durch
und
verlaufenden Sekante ist. Der Mittelwertsatz kann
somit als Erweiterung des Satzes von Rolle aufgefasst werden, da er diesen für
als Sonderfall enthält.
Ableitungsregeln wichtiger Funktionen¶
Bezeichnung | ![]() |
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Bedingung(en) |
Potenzfunktion | ![]() |
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Exponentialfunktion | ![]() |
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![]() ![]() |
Natürliche Exponentialfunktion | ![]() |
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|
Logarithmusfunktion | ![]() |
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![]() |
Natürliche Logarithmusfunktion | ![]() |
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Sinusfunktion | ![]() |
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Cosinusfunktion | ![]() |
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|
Tangensfunktion | ![]() |
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Cotangensfunktion | ![]() |
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