Extremwertaufgaben¶
Ein häufiger Anwendungsfall der Differentialrechnung sind so genannte Extremwertaufgaben. Bei diesem Aufgabentyp wird zunächst eine Funktionsgleichung aufgestellt, welche die gesuchte Größe als Variable enthält. Wird die erste Ableitung dieser Funktionsgleichung gebildet und diese gleich Null gesetzt, so erhält man eine oder mehrere Stellen, für welche die gesuchte Größe minimal oder maximal ist.
Beispiel:
Mit
Zaunlänge soll ein rechteckiges Flächenstück mit möglichst großem Flächeninhalt
eingezäunt werden. Welche Länge
beziehungsweise Breite
muss das eingezäunte Stück haben?
Die Fläche des eingezäunten Rechtecks kann als
geschrieben werden. Der Umfang kann als
ausgedrückt werden und soll gleich
sein. Es gelten also folgende zwei Bedingungen:
Setzt man die nach
aufgelöste zweite Gleichung in die erste Gleichung ein, so erhält man eine Funktionsgleichung, die als Variable die gesuchte Länge
enthält:
Um die ideale Länge
zu bestimmen, wird die Flächenfunktion
einmal nach der Variablen
abgeleitet. Diese Ableitung kann dann gleich Null gesetzt werden:
Damit ist auch
. Der Flächeninhalt
beträgt bei dieser Aufteilung
.
Die Herausforderung bei Extremwertaufgaben liegt in der mathematischen Formulierung der Bedingungen, aus deren Kombination sich eine mathematische Funktion mit der gesuchten Variablen aufstellen lässt. Die Bestimmung der Extremwerte erfolgt dann stets nach dem gleichen Prinzip.