Ableitungen ganzrationaler Funktionen¶

Eine Funktion, beispielsweise eine Potenzfunktionen der Form $y = f(x) = x^n$ mit $n \in \mathbb{N}$ , ist an allen Stellen des Definitionsbereichs genau dann differenzierbar, wenn ihre Steigung stets gleich bleibt oder sich kontinuierlich ändert.[1] Damit lässt sich jeweils eine Funktion $f' (x)$ finden, die für jeden Wert $x$ gerade den Wert der Steigung von $f(x)$ als Funktionswert liefert. Eine solche Funktion $f' (x)$ wird Ableitungsfunktion oder kurz Ableitung von $f(x)$ genannt.

Steigung und erste Ableitung¶

Die (erste) Ableitung $f'(x)$ einer Funktion gibt an, wie schnell sich ihre Funktionswerte ändern (“Steigung” von $f(x)$ ). Für eine Potenzfunktion lässt sich die zugehörige Ableitung einfach nach folgender Regel bestimmen:

(1) $f(x) = x^n \quad \Rightarrow \quad f'(x) = n \cdot x ^{n-1}$

Beispiele:

Die Steigung einer konstanten Funktion $y = f(x) = \text{konst.}$ ist gleich Null:

(2) $f(x) = \text{konst.} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 0$
Für $n = 1$ entspricht $f(x)=x^n$ der Ursprungsgeraden $f(x) = x^1 = x$ . Für die Ableitungsfunktion ergibt sich nach Gleichung (1):

$f(x) &= x^1 \\[6pt] \Rightarrow f'(x) &= 1 \cdot x ^{1-1} = 1 \cdot x^0 = 1$

Da eine Gerade stets eine konstante Steigung besitzt, liefert ihre Ableitungsfunktion für alle $x$ einen konstanten Wert. Dieser Wert ist umso größer, je steiler die Gerade verläuft, und negativ, falls es sich um eine fallende Gerade handelt.

Funktionsgraph und erste Ableitung (Steigung) der linearen Funktion $y=x$ .

SVG: Steigung einer linearen Funktion
Für $n = 2$ entspricht $f(x)=x^n$ der Normalparabel $f(x) = x^2$ . Für die Ableitungsfunktion ergibt sich nach Gleichung (1):

$f(x) &= x^2 \\[6pt] \Rightarrow f'(x) &= 2 \cdot x ^{2-1} = 2 \cdot x^1 = 2 \cdot x$

Die Steigung der Normalparabel nimmt also konstant zu – von stark negativen Werten links der $y$ -Achse (der Graph der Ableitungsfunktion befindet sich im negativen Wertebereich) bishin zu stark positiven Werten rechts der $y$ -Achse.

Funktionsgraph und erste Ableitung (Steigung) der quadratischen Funktion $y=x^2$ .

SVG: Steigung einer quadratischen Funktion
Für $n = 3$ gilt $f(x)=x^3$ , und für die Ableitungsfunktion:

$f(x) &= x^3 \\[6pt] \Rightarrow f'(x) &= 3 \cdot x ^{3-1} = 3 \cdot x^2$

Die Ableitungsfunktion $f'(x) = 3 \cdot x^2$ befindet sich stets im positiven Wertebereich, was bedeutet, dass die Steigung der kubischen Funktion $f(x) = x^3$ stets positiv (bzw. Null am Punkt $(0;0)$ ) ist.

Funktionsgraph und erste Ableitung (Steigung) der kubischen Funktion $y=x^3$ .

SVG: Steigung einer kubischen Funktion

Krümmung und zweite Ableitung¶

Will man nicht nur wissen, welche Steigung eine Funktion an einer bestimmten Stelle aufweist, sondern ist auch daran interessiert, wie schnell sich die Steigung der Funktion ändert, so kann die erste Ableitung erneut abgeleitet werden. Auf diese Weise erhält man die zweite Ableitung $f''(x)$ der ursprünglichen Funktion. Sie gibt an, wie schnell sich die Steigungswerte der Funktion ändern; die Änderung der Steigung wird als “Krümmung” des Graphen bezeichnet.

Stellt man sich – von oben betrachtet – ein Fahrzeug vor, das auf dem Graphen der Funktion in Richtung zunehmender $x$ -Werte entlangfährt, so gibt das “Lenkverhalten” des Fahrzeugs Aufschluss über die Krümmung der Funktion.

Legt das Fahrzeug auf seinem Weg entlang des Graphen eine Linkskurve zurück, so bezeichnet man die Krümmung der Funktion als positiv.
Legt das Fahrzeug auf seinem Weg entlang des Graphen eine Rechtskurve zurück, so bezeichnet man die Krümmung der Funktion als negativ.
Kann das Fahrzeug entlang des Graphen ohne zu lenken “geradeaus” fahren, so ist die Krümmung des Graphen gleich Null.

In verschiedenen Bereichen der Funktion kann die Krümmung unterschiedlich sein. Als anschauliche Beispiele eignen sich ebenfalls die einfachen Potenzfunktionen $f(x) = x^n$ .

Beispiele:

Für $n = 1$ entspricht $f(x)=x^n$ der Ursprungsgeraden $f(x) = x^1 = x$ . Für die 1. Ableitung $f'(x)$ sowie für die 2. Ableitung $f''(x)$ ergibt sich mit den Gleichungen (1): und (2):

$y = f(x) &= x^1 \\[6pt] \Rightarrow f'(x) &= 1 = \text{konst.} \\[6pt] \Rightarrow f''(x)&= 0$

Da die Steigung einer Geraden an allen Stellen gleich ist, tritt keine Krümmung auf: Der Wert der zweiten Ableitung ist – unabhängig vom eingesetzten $x$ -Wert – stets gleich Null.

Funktionsgraph, erste und zweite Ableitung (Steigung bzw. Krümmung) der linearen Funktion $y=x$ .

SVG: Steigung und Krümmung einer linearen Funktion
Für $n = 2$ entspricht $f(x)=x^n$ der Normalparabel $f(x) = x^2$ . Für die 1. Ableitung $f'(x)$ sowie für die 2. Ableitung $f''(x)$ ergibt sich entsprechend:

$y = f(x) &= x^2 \\[6pt] \Rightarrow f'(x) &= 2 \cdot x ^1 \\[6pt] \Rightarrow f''(x) &= 2 \cdot x^0 = 2$

Eine Parabel besitzt stets eine konstante Krümmung. Im obigen Beispiel ist die Parabel nach oben geöffnet, ihre Krümmung ist positiv. (Ein Fahrzeug müsste – von oben betrachtet – entlang der Parabel eine Linkskurve fahren.)

Funktionsgraph, erste und zweite Ableitung (Steigung bzw. Krümmung) der Parabelgleichung $y=x^2$ .

SVG: Steigung und Krümmung einer quadratischen Funktion
Für $n = 3$ gilt $f(x)=x^3$ , und für die Ableitungsfunktionen nach Gleichung (1):

$f(x) &= x^3 \\[6pt] \Rightarrow f'(x) &= 3 \cdot x^2 \\[6pt] \Rightarrow f''(x) &= 3 \cdot 2 \cdot x^1 = 6 \cdot x$

Die zweite Ableitung $f''(x) = 6 \cdot x$ ist links der $y$ -Achse negativ, was der negativen Krümmung der Funktion in diesem Bereich entspricht. Am Punkt $(0;0)$ ist die zweite Ableitung gleich Null, an dieser Stelle hat die Funktion keine Krümmung. Im Bereich rechts der $y$ -Achse ist die zweite Ableitung positiv, was einer Linkskrümmung des Funktionsgraphen entspricht.

Funktionsgraph, erste und zweite Ableitung (Steigung bzw. Krümmung) der kubischen Funktion $y=x^3$ .

SVG: Steigung und Krümmung einer kubischen Funktion