Zusammenfassung wichtiger Ableitungsregeln

Im folgenden sind die wichtigsten Ableitungsregeln der vorherigen Abschnitte nochmals kurz zusammengefasst.

Allgemeine Ableitungsregeln

Die folgenden Ableitungsregeln sind allgemein für beliebige Funktionen gültig:

  • Lässt sich eine Funktion f(x) als Summe einer anderen Funktion f _{\rm{1}}(x) mit einem konstanten Summanden c darstellen, so ist ihre Ableitungsfunktion f'(x) mit der Ableitung f _{\rm{1}}'(x) der anderen Funktion identisch:

    (1)f _{\rm{1}}(x) = f _{\rm{2}}(x) + c \quad \Rightarrow \quad f _{\rm{1}}'(x) = f _{\rm{2}}'(x) {\color{white} +c}

    Insbesondere ist die Ableitung beziehungsweise Steigung einer konstanten Funktion f(x) = c gleich Null.

  • Lässt sich eine Funktion f _{\rm{1}}(x) als Produkt einer anderen Funktion f _{\rm{2}}(x) mit einem konstanten Faktor c darstellen, so entspricht ihre Ableitungsfunktion f _{\rm{1}}'(x) derjenigen der anderen Funktion f _{\rm{2}}(x), wenn diese mit dem gleichen Faktor c multipliziert wird.

    (2)f_1(x) = c \, \cdot \; f _2(x) \quad \Rightarrow \quad f_{1}'(x) = c \cdot f_{2}'(x)

Für jede beliebige Funktion f(x), die man sich aus zwei Teilfunktionen f _{\rm{1}}(x) und f _{\rm{2}}(x) zusammengesetzt denken kann, sind folgende Ableitungsregeln nützlich:

  • Additionsregel:

    Besteht eine Funktion f(x) aus einer Summe zweier Teilfunktionen f_1(x) und f_2(x), so gilt für ihre Ableitung f'(x):

    (3)\left[ f _{\rm{1}}(x) + f _{\rm{2}}(x) \right]' = f _{\rm{1}}'(x) + f _{\rm{2}}'(x) {\color{white} \quad \;\; \ldots}

  • Produktregel:

    Besteht eine Funktion f(x) aus einem Produkt zweier Teilfunktionen f_1(x) und f_2(x), so gilt für ihre Ableitung f(x):

    (4){\color{white} \ldots \quad \qquad} \left[ f _{\rm{1}}(x) \, \cdot \; f _{\rm{2}}(x) \right]' = f _{\rm{1}}'(x) \, \cdot \; f _{\rm{2}}(x) \, + \, f _{\rm{2}}'(x) \, \cdot \; f _{\rm{1}}(x)

  • Quotientenregel:

    Besteht eine Funktion f(x) aus einem Quotienten zweier Teilfunktionen f_1(x) und f_2(x), so gilt für ihre Ableitung f(x):

    (5){\color{white} \ldots \qquad \qquad \quad \;\;\, } \left[ \frac{f _{\rm{1}}(x)}{f _{\rm{2}}(x)} \right]' = \frac{f _{\rm{1}}'(x) \, \cdot \; f _{\rm{2}}(x) \, - \, f _{\rm{2}}'(x) \, \cdot \; f _{\rm{1}}(x)}{ \left( f _{\rm{2}}(x) \right)^2}

  • Kettenregel

    Besteht eine Funktion f(x) aus einer Verkettung zweier Teilfunktionen f_1(x) und f_2(x), so gilt für ihre Ableitung f(x):

    (6)\left[ f _{\rm{1}}\big(f _{\rm{2}}(x)\big) \right]' = f _{\rm{1}}'\big(f _{\rm{2}}(x)\big) \, \cdot \; f _{\rm{2}}'(x)

    Hierbei wird zunächst die Ableitung f_1' der äußeren Funktion gebildet, wobei die innere Funktion unverändert gelassen wird. Der resultierende Term wird anschließend mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert.

Ableitungsregeln wichtiger Funktionen

Die folgenden Ableitungsregeln sind allgemein für beliebige Funktionen gültig:

Bezeichnung f(x) f'(x) Bedingung(en)
Potenzfunktion x^n n \cdot x ^{n-1} n \in \mathbb{R}
Exponentialfunktion a ^{x} a ^{x} \cdot \ln{(a)} a > 0, a \ne 1
Natürliche Exponentialfunktion e ^{x} e ^{x}  
Logarithmusfunktion \log{(x)} \frac{1}{x \cdot \ln{(a)}} x > 0,\, a > 0,\, a \ne 1
Natürliche Logarithmusfunktion \ln{(x)} \frac{1}{x} x > 0
Sinusfunktion \sin{(x)} \cos{(x)}  
Cosinusfunktion \cos{(x)} -\sin{(x)}  
Tangensfunktion \tan{(x)} 1 + \tan^2{(x)} x \ne (2\!\cdot\!n + 1) \cdot \frac{\pi}{2} mit n \in \mathbb{N}
Cotangensfunktion \cot{(x)} -\left(1 + \cot^2{(x)}\right) x \ne n \cdot \pi mit n \in \mathbb{N}