Diskriminante

Hinweis

Das Original dieser Maxima-Beispielaufgabe kann im Original hier heruntergeladen werden. Die wxmx-Datei kann mit WxMaxima geöffnet werden.

Bei dieser Aufgabe geht es darum, die Diskriminante einer quadratischen Gleichung zu bestimmen.

Aufgabe:

Gegeben sei die quadratische Gleichung f(x) = x^2 - 8 \cdot x -15. Wie lautet die Diskriminante dieser Gleichung?

Lösung:

Die Diskriminante D einer quadratischen Gleichung f(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c lässt sich in Abhängigkeit der Parameter a, b und c folgendermaßen bestimmen:

D = b^2 - 4 \cdot a \cdot c

Die Aufgabe kann folgendermaßen mit Sympy gelöst werden:

import sympy as sy

# Sympy-Variable initiieren:
x = sy.S( 'x' )

# Gleichung formulieren:
f = x**2 - 8*x - 15

# Koeffizienten a, b und c bestimmen:

a = f.coeff(x, n=2)
b = f.coeff(x, n=1)
c = f.coeff(x, n=0)

D = b**2 - 4*a*c

# Ergebnis: 124

Die Diskriminante ist positiv, somit hat die Gleichung die zwei Lösungen x _{\rm{1,2}} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 \cdot a}:

x1 = ( -b + sy.sqrt(D) ) / (2 * a)
x2 = ( -b - sy.sqrt(D) ) / (2 * a)

x1.evalf()
# Ergebnis:  9.56776436283002

x2.evalf()
# Ergebnis: -1.56776436283002

Der Funktionsgraph als Ganzes kann mittels numpy und matplotlib folgendermaßen erzeugt werden:

import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Wertereihen erzeugen:
x = np.arange(-3,11,0.01)
y = x**2 - 8*x - 15

# Funktion plotten:
plt.plot(x,y)

# Layout anpassen:
plt.axis([-3,11,-35,35])
plt.xlabel("$x$")
plt.ylabel("$y$")
plt.grid(True)

plt.text(7, 15, "$f(x)=x^2 - 8x - 15$")

plt.show()

Das Ergebnis sieht so aus:

fig-diskriminante

Graph der Funktion f(x) = x^2 - 8 \cdot x - 15.