Reihen- und Parallelschaltungen¶

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Reihen- und Parallelschaltungen.

Reihen- und Parallelschaltungen von Stromquellen

Bei einer Reihenschaltung von $n$ Stromquellen addieren sich die Werte der Spannungen $U_1,\, U_2 ,\, \ldots ,\, U_{\mathrm{n}}$ zu einer Gesamtspannung $U_{\mathrm{ges}}$ . Wenn drei Batterien mit einer Spannung von je $\unit[1,5]{V}$ in Reihe geschaltet werden, ergibt sich somit folgende Gesamt-Spannung:

$U_{\mathrm{ges}} &= U_1 + U_2 + U_3 = \unit[1,5]{V} + \unit[1,5]{V} + \unit[1,5]{V} = \unit[4,5]{V}$

Bei einer Parallelschaltung von (gleichartigen) Stromquellen ist die Gesamtspannung gleich der Spannung einer einzelnen Stromquelle.[1] Eine Parallelschaltung zweier $\unit[1,5]{V}$ -Batterien liefert somit eine Gesamt-Spannung von ebenfalls $\unit[1,5]{V}$ .

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Reihen- und Parallelschaltungen von Widerständen

Bei einer Reihenschaltung von Widerständen treten keine Verzweigungen auf; in jeden Netzwerk-Knoten fließt somit gleich viel Strom hinein, wie aus ihm auch wieder hinausfließt. Es gilt somit $I=\text{konst}$ an allen Stellen in der Schaltung.

Eine Reihenschaltung bildet zudem gemeinsam mit der Spannungsquelle eine Masche. Innerhalb dieser Masche ergeben alle Spannungen in Summe Null. Nach dem Ohmschen Gesetz gilt:

$U_1 &= R_1 \cdot I \\ U_2 &= R_2 \cdot I \\ U_{\mathrm{ges}} &= R_{\mathrm{ges}} \cdot I \\$

SVG: Netzwerk-Knoten (Loesung)
Aus der Maschenregel ergibt sich:

$U_{\mathrm{ges}} = U_1 + U_2$

Setzt man die aus dem Ohmschen Gesetz resultierenden Ausdrücke in diese Gleichung ein, so erhält man:

$R_{\mathrm{ges}} \cdot I &= R_1 \cdot I + R_2 \cdot I \\ \Rightarrow R_{\mathrm{ges}} &= R_1 + R_2 \quad \checkmark$

Die Formel $R_{\mathrm{ges}} = R_1 + R_2$ für die Reihenschaltung zweier Widerstände folgt somit unmittelbar aus dem Ohmschen Gesetz sowie der Kirchhoffschen Maschenregel.

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In einer Parallelschaltung ist die Gesamt-Stromstärke $I_{\mathrm{ges}}$ gleich der Summe der (Teil-)Stromstärken $I_1,\, I_2,\, \ldots ,\, I_{\mathrm{n}}$ . Betragen die Stromstärken $I_1$ und $I_2$ in zwei Stromzweigen $\unit[1,8]{A}$ bzw. $\unit[2,2]{A}$ , so ergibt sich damit folgende Gesamt-Stromstärke:

$I_{\mathrm{ges}} = I_1 + I_2 = \unit[1,8]{A} + \unit[2,2]{A} = \unit[4,0]{A}$

Die Gesamt-Stromstärke beträgt somit $I_{\mathrm{ges}} = \unit[4,0]{A}$ .

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Bei einer Reihenschaltung ist der Gesamtwiderstand $R_{\mathrm{ges}}$ gleich der Summe der einzelnen Widerstandswerte; für eine Reihenschaltung zweier Widerstände $R_1 = \unit[100]{\Omega }$ und $R_2 = \unit[50]{\Omega }$ gilt somit:

$R_{\mathrm{ges}} = R_1 + R_2 = \unit[100]{\Omega } + \unit[50]{\Omega } = \unit[150]{\Omega }$

Durch Einsetzen des Werts der anliegenden Spannung $U_{\mathrm{ges}} = \unit[9]{V}$ und des Gesamtwiderstandes $R_{\mathrm{Ges}} = \unit[150]{\Omega}$ in das Ohmsche Gesetz $U_{\mathrm{ges}} = R_{\mathrm{ges}} \cdot I$ folgt damit für die fließende Stromstärke $I$ :

$U_{\mathrm{ges}} = R_{\mathrm{ges}} \cdot I \quad \Leftrightarrow \quad I = \frac{U_{\mathrm{ges}}}{R_{\mathrm{ges}}}$

$I = \frac{U_{\mathrm{ges}}}{R_{\mathrm{ges}}} = \frac{\unit[9]{V}}{\unit[150]{\Omega}} = \unit[0,06]{A} = \unit[60]{mA}$

Die Stromstärke beträgt somit $I = \unit[60]{mA}$ (an allen Stellen der Reihenschaltung). Wiederum mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes können damit die beiden Teilspannungen $U_1 = R_1 \cdot I$ und $U_2 = R_2 \cdot I$ an den beiden Widerständen berechnet werden:

$U_1 &= R_1 \cdot I = \unit[100]{\Omega} \cdot \unit[0,06]{A} = \unit[6]{V} \\[6pt] U_2 &= R_1 \cdot I = \unit[50]{\Omega} \cdot \unit[0,06]{A} = \unit[3]{V}$

Die beiden Teilspannungen $U_1$ und $U_2$ betragen somit $\unit[6]{V}$ bzw. $\unit[3]{V}$ . In der Summe ergeben sie die Gesamtspannung $U_{\mathrm{ges}} = \unit[9]{V}$ , zueinander stehen sie im gleichen Verhältnis wie die Werte $R_1$ und $R_2$ der Widerstände $(\frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{2}{1})$ .

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Bei einer Parallelschaltung ist der Kehrwert des Gesamtwiderstands $\frac{1}{R_{\mathrm{ges}}}$ gleich der Summe der Kehrwerte der einzelnen Widerstandswerte; für eine Reihenschaltung zweier Widerstände $R_1 = \unit[100]{\Omega }$ und $R_2 = \unit[50]{\Omega }$ gilt somit:

$\frac{1}{R_{\mathrm{ges}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{\unit[100]{\Omega }} + \frac{1}{\unit[50]{\Omega }} = \unit[\frac{3}{100} ]{\frac{1}{\Omega }}$

$\Rightarrow R_{\mathrm{ges}} = \unit[\frac{100}{3}]{\Omega } \approx \unit[33,3]{\Omega }$

Durch Einsetzen des Werts der anliegenden Spannung $U = \unit[9]{V}$ und des Gesamtwiderstandes $R_{\mathrm{Ges}} = \unit[33,3]{\Omega }$ in das Ohmsche Gesetz $U = R \cdot I$ folgt damit für die im unverzweigten Teil fließende Stromstärke $I_{\mathrm{ges}}$ :

$U = R_{\mathrm{ges}} \cdot I_{\mathrm{ges}} \quad \Leftrightarrow \quad I = \frac{U}{R_{\mathrm{ges}}}$

$I_{\mathrm{ges}} = \frac{U}{R_{\mathrm{ges}}} = \frac{\unit[9]{V}}{\unit[33,3]{\Omega }} = \unit[0,27]{A} = \unit[270]{mA}$

Die Stromstärke beträgt im unverzweigten Teil der Schaltung somit $I = \unit[270]{mA}$ .

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Bei einer Parallelschaltung lässt sich der Kehrwert des Gesamtwiderstands $\frac{1}{R_{\mathrm{ges}}}$ als Summe der Kehrwerte der einzelnen Widerstandswerte berechnen:

$\frac{1}{R_{\mathrm{ges}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{\unit[100]{\Omega }} + \frac{1}{\unit[470]{\Omega }} + \frac{1}{\unit[1\,000]{\Omega }} \approx \unit[0,013]{\frac{1}{\Omega } }$

$\Rightarrow R_{\mathrm{ges}} \approx \unit[76,2]{\Omega }$

Die Spannung $U= \unit[9]{V}$ bleibt an allen Stellen der Parallelschaltung unverändert. Die Gesamt-Stromstärke $I_{\mathrm{ges}}$ sowie die Stromstärken $I_1,\, I_2,\, I_3$ durch die Widerstände $R_1,\, R_2,\, R_3$ lassen sich mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes berechnen:

$I_{\mathrm{ges}} = \frac{U}{R_{\mathrm{ges}}} &= \frac{\unit[9]{V}}{\unit[76,2]{\Omega}} =~ \unit[0,12]{A} \\[6pt] I_1 = \frac{U}{R_1} &= \frac{\unit[9]{V}}{\unit[100]{\Omega}} =~ \unit[0,09]{A} \\[4pt] I_2 = \frac{U}{R_2} &= \frac{\unit[9]{V}}{\unit[470]{\Omega}} =~ \unit[0,02]{A} \\[4pt] I_3 = \frac{U}{R_3} &= \frac{\unit[9]{V}}{\unit[1\,000]{\Omega}} =~ \unit[0,01]{A}$

Bei einer Reihenschaltung lässt sich der Gesamtwiderstand $R_{\mathrm{ges}}$ als Summe der einzelnen Widerstandswerte berechnen:

$R_{\mathrm{ges}} = R_1 + R_2 + R_3 = \unit[100]{\Omega } + \unit[470]{\Omega} + \unit[1\,000]{\Omega} = \unit[1\,570]{\Omega}$

Durch Einsetzen der anliegenden Spannung $U_{\mathrm{ges}} = \unit[9]{V}$ und des Gesamtwiderstands $R_{\mathrm{ges}} = \unit[1\,570]{\Omega}$ in das Ohmsche Gesetz folgt:

$U_{\mathrm{ges}} = R_{\mathrm{ges}} \cdot I \quad \Leftrightarrow \quad I = \frac{U_{\mathrm{ges}}}{R_{\mathrm{ges}} }$

$I_{\mathrm{ges}} = \frac{U}{R_{\mathrm{ges}}} = \frac{\unit[9]{V}}{\unit[1570]{\Omega}} \approx \unit[0,0057]{A} = \unit[5,7]{mA}$

Auch die an den einzelnen Widerständen anliegenden Spannungen lassen sich mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes berechnen, wenn für die Stromstärke $I = I_{\mathrm{ges}} \approx \unit[0,0057]{A}$ eingesetzt wird:

$U_1 &= R_1 \cdot I \approx \unit[100]{\Omega} \cdot \unit[0,0057]{A} \approx \unit[0,6]{V} \\[4pt] U_2 &= R_2 \cdot I \approx \unit[470]{\Omega} \cdot \unit[0,0057]{A} = \unit[2,7]{V} \\[4pt] U_3 &= R_3 \cdot I \approx \unit[1\,000]{\Omega} \cdot \unit[0,0057]{A} = \unit[5,7]{V}$

Die Summe der drei Teilspannungen entspricht (von Rundungsfehlern abgesehen) wieder der Gesamtspannung $(U_{\mathrm{ges}} = U_1 + U_2 + U_3 = \unit[9]{V})$ .

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Die Parallelschaltung der beiden Widerstände $R_1 = \unit[470]{\Omega}$ und $R_2 = \unit[220]{\Omega}$ wirkt nach außen wie ein einzelner „Ersatzwiderstand“ $R_{\mathrm{Ers}}$ mit folgendem Wert:

$\frac{1}{R_{\mathrm{Ers}}} = \frac{1}{R_1 } + \frac{1}{R2} = \unit[1]{\unit[470]{\Omega }} + \unit[1]{\unit[220]{\Omega}} \approx \unit[0,0067]{\frac{1}{\Omega}}$

$\Rightarrow R_{\mathrm{Ers}} \approx \unit[150]{\Omega }$

Der gesamte Stromkreis kann damit als eine Reihenschaltung des Ersatzwiderstands $R_{\mathrm{Ers}} \approx \unit[150]{\Omega}$ und des Widerstands $R_3 = \unit[560]{\Omega}$ aufgefasst werden. Für den Gesamtwiderstand $R_{\mathrm{ges}}$ folgt:

$R_{\mathrm{ges}} = R_{\mathrm{Ers}} + R_3 \approx \unit[150]{\Omega } + \unit[560]{\Omega} = \unit[710]{\Omega}$

Mit dem Ohmschen Gesetz lässt sich in Folge die Stromstärke $I _{\mathrm{ges}}$ im unverzweigten Teil des Stromkreises $(U_{\mathrm{ges}} = \unit[9]{V},\, R_{\mathrm{ges}} \approx \unit[710]{\Omega})$ bestimmen:

$U = R_{\mathrm{ges}} \cdot I_{\mathrm{ges}} \quad \Leftrightarrow \quad I = \frac{U}{R_{\mathrm{ges}}}$

$I_{\mathrm{ges}} = \frac{U_{\mathrm{ges}}}{R_{\mathrm{ges}}} \approx \frac{\unit[9]{V}}{\unit[710]{\Omega}} \approx \unit[0,013]{A} = \unit[13]{mA}$

Mit $I = I_{\mathrm{ges}} \approx \unit[0,013]{A}$ lassen sich die an den Widerständen $R_{\mathrm{Ers}}$ und $R_3$ anliegenden Spannungen $U_{\mathrm{Ers}}$ bzw. $U_3$ bestimmen:

$U_{\mathrm{Ers}} &= R_{\mathrm{Ers}} \cdot I \approx \unit[150]{\Omega} \cdot \unit[0,013]{A} \approx \unit[1,9]{V} \\[6pt] U_3 &= R_3 \cdot I \approx \unit[560]{\Omega} \cdot \unit[0,013]{A} \approx \unit[7,1]{V}$

Die Spannung $U_{\mathrm{Ers}} \approx \unit[1,9]{V}$ liegt an beiden parallelen Widerständen $R_1$ und $R_2$ an. Für die Stromstärken $I_1$ und $I_2$ in diesen beiden Stromzweigen ergibt sich somit:

$I_1 = \frac{U_{\mathrm{Ers}}}{R_1} \approx \frac{\unit[1,9]{V}}{\unit[470]{\Omega}} \approx \unit[0,004]{A} \\[6pt] I_1 = \frac{U_{\mathrm{Ers}}}{R_2} \approx \frac{\unit[1,9]{V}}{\unit[220]{\Omega}} \approx \unit[0,009]{A}$

Die Summe der beiden Stromstärken ist wiederum gleich der Stromstärke $I_{\mathrm{ges}}$ im unverzweigten Stromkreis.

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Anmerkungen:

[1]	Durch eine Parallelschaltung mehrerer Batterien oder Akkus kann allerdings deren gespeicherte Energiemenge und damit die „Haltbarkeit“ der Stromquelle vergrößert werden.

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