Reihen- und Parallelschaltungen¶
Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Reihen- und Parallelschaltungen.
Reihen- und Parallelschaltungen von Stromquellen
Bei einer Reihenschaltung von
Stromquellen addieren sich die Werte der Spannungen
zu einer Gesamtspannung
. Wenn drei Batterien mit einer Spannung von je
in Reihe geschaltet werden, ergibt sich somit folgende Gesamt-Spannung:
Bei einer Parallelschaltung von (gleichartigen) Stromquellen ist die Gesamtspannung gleich der Spannung einer einzelnen Stromquelle.[1] Eine Parallelschaltung zweier
-Batterien liefert somit eine Gesamt-Spannung von ebenfalls
.
Reihen- und Parallelschaltungen von Widerständen
Bei einer Reihenschaltung von Widerständen treten keine Verzweigungen auf; in jeden Netzwerk-Knoten fließt somit gleich viel Strom hinein, wie aus ihm auch wieder hinausfließt. Es gilt somit
an allen Stellen in der Schaltung.
Eine Reihenschaltung bildet zudem gemeinsam mit der Spannungsquelle eine Masche. Innerhalb dieser Masche ergeben alle Spannungen in Summe Null. Nach dem Ohmschen Gesetz gilt:
SVG: Netzwerk-Knoten (Loesung)
Aus der Maschenregel ergibt sich:
Setzt man die aus dem Ohmschen Gesetz resultierenden Ausdrücke in diese Gleichung ein, so erhält man:
Die Formel
für die Reihenschaltung zweier Widerstände folgt somit unmittelbar aus dem Ohmschen Gesetz sowie der Kirchhoffschen Maschenregel.
In einer Parallelschaltung ist die Gesamt-Stromstärke
gleich der Summe der (Teil-)Stromstärken
. Betragen die Stromstärken
und
in zwei Stromzweigen
bzw.
, so ergibt sich damit folgende Gesamt-Stromstärke:
Die Gesamt-Stromstärke beträgt somit
.
Bei einer Reihenschaltung ist der Gesamtwiderstand
gleich der Summe der einzelnen Widerstandswerte; für eine Reihenschaltung zweier Widerstände
und
gilt somit:
Durch Einsetzen des Werts der anliegenden Spannung
und des Gesamtwiderstandes
in das Ohmsche Gesetz
folgt damit für die fließende Stromstärke
:
Die Stromstärke beträgt somit
(an allen Stellen der Reihenschaltung). Wiederum mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes können damit die beiden Teilspannungen
und
an den beiden Widerständen berechnet werden:
Die beiden Teilspannungen
und
betragen somit
bzw.
. In der Summe ergeben sie die Gesamtspannung
, zueinander stehen sie im gleichen Verhältnis wie die Werte
und
der Widerstände
.
Bei einer Parallelschaltung ist der Kehrwert des Gesamtwiderstands
gleich der Summe der Kehrwerte der einzelnen Widerstandswerte; für eine Reihenschaltung zweier Widerstände
und
gilt somit:
Durch Einsetzen des Werts der anliegenden Spannung
und des Gesamtwiderstandes
in das Ohmsche Gesetz
folgt damit für die im unverzweigten Teil fließende Stromstärke
:
Die Stromstärke beträgt im unverzweigten Teil der Schaltung somit
.
Bei einer Parallelschaltung lässt sich der Kehrwert des Gesamtwiderstands
als Summe der Kehrwerte der einzelnen Widerstandswerte berechnen:
Die Spannung
bleibt an allen Stellen der Parallelschaltung unverändert. Die Gesamt-Stromstärke
sowie die Stromstärken
durch die Widerstände
lassen sich mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes berechnen:
Bei einer Reihenschaltung lässt sich der Gesamtwiderstand
als Summe der einzelnen Widerstandswerte berechnen:
Durch Einsetzen der anliegenden Spannung
und des Gesamtwiderstands
in das Ohmsche Gesetz folgt:
Auch die an den einzelnen Widerständen anliegenden Spannungen lassen sich mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes berechnen, wenn für die Stromstärke
eingesetzt wird:
Die Summe der drei Teilspannungen entspricht (von Rundungsfehlern abgesehen) wieder der Gesamtspannung
.
Die Parallelschaltung der beiden Widerstände
und
wirkt nach außen wie ein einzelner „Ersatzwiderstand“
mit folgendem Wert:
Der gesamte Stromkreis kann damit als eine Reihenschaltung des Ersatzwiderstands
und des Widerstands
aufgefasst werden. Für den Gesamtwiderstand
folgt:
Mit dem Ohmschen Gesetz lässt sich in Folge die Stromstärke
im unverzweigten Teil des Stromkreises
bestimmen:
Mit
lassen sich die an den Widerständen
und
anliegenden Spannungen
bzw.
bestimmen:
Die Spannung
liegt an beiden parallelen Widerständen
und
an. Für die Stromstärken
und
in diesen beiden Stromzweigen ergibt sich somit:
Die Summe der beiden Stromstärken ist wiederum gleich der Stromstärke
im unverzweigten Stromkreis.
Anmerkungen:
[1] | Durch eine Parallelschaltung mehrerer Batterien oder Akkus kann allerdings deren gespeicherte Energiemenge und damit die „Haltbarkeit“ der Stromquelle vergrößert werden. |