Mechanik der Festkörper

Als Festkörper werden alle Körper bezeichnet, die im festen Aggregatzustand, also in einer kristallinen Struktur vorliegen. Hierzu gehören beispielsweise Metalle, Salze, Eis und zahlreiche organische Verbindungen. Bei Metallen und Salzen bestehen die einzelnen Bausteine des Kristallgitters aus Atomen, bei Eis und organischen Verbindungen aus Molekülen.

Die Festigkeit eines Kristalls hängt sowohl von den Bindungskräften zwischen den Atomen bzw. Molekülen als auch von der räumlichen Anordnung ab:

  • Diamant besteht beispielsweise ebenso wie Graphit aus reinem Kohlenstoff; die Kohlenstoffatome sind allerdings im Diamantkristall anders angeordnet.
  • Salze bestehen aus positiv und negativ geladenen Ionen. Die starken Bindungskräfte des Ionengitters haben eine große Härte und Festigkeit der Salzkristalle zur Folge.
  • In Metallen sind die einzelnen Kristalle mikroskopisch klein und unregelmäßig angeordnet; sie sind jedoch bei mikroskopischer Betrachtung der Bruchflächen eines Metallstücks deutlich erkennbar.

Bei polykristallinen Materialien, wie beispielsweise Metallen, sind die Größen und Strukturen der einzelnen Teilkristalle unterschiedlich; das Material im Ganzen besitzt daher üblicherweise in alle Raumrichtungen gleiche Eigenschaften. Im Vergleich dazu bestehen monokristalline Stoffe aus einer einzelnen Kristallstruktur, so dass sich die mechanischen, thermischen und elektrischen Eigenschaften in den verschiedenen Raumrichtungen unterscheiden.

Für alle Festkörper mit kristalliner Struktur gilt, dass sie bei einer ganz bestimmten Temperatur (der “Schmelztemperatur”) in den flüssigen Aggregatzustand übergehen. Bei manchen Stoffen, die umgangssprachlich ebenfalls als feste Stoffe bezeichnet werden, ist eine strikte Trennung zwischen festem und flüssigem Aggregatzustand nicht möglich. Diese Materialien – beispielsweise Glas, Wachs, Teer und viele Kunststoffe – haben keinen kristallinen Aufbau und werden daher als “amorphe” Stoffe bezeichnet.[1]

Dehnung und Stauchung

In Festkörpern sind die Abstände zwischen den einzelnen Atomen sehr gering; sie haben daher ein bestimmtes Volumen und lassen sich kaum komprimieren. Allerdings lässt sich die Gestalt eines Festkörpers ändern, beispielsweise kann ein Metalldraht unter Verwendung durch Einwirken einer Zugkraft gedehnt werden. Ob die Gestalt des Festkörpers in ihre alte Form zurück geht, wenn die einwirkende Kraft nächlässt (“elastische Verformung”) oder ob sie bestehen bleibt (“plastische Verformung”), ist vom Material und der Größe der verformenden Kraft abhängig.[2]

Dehnung von Festkörpern

Im Allgemeinen kann jeder Festkörper zu einem gewissen Grad elastisch gedehnt werden; dabei vergrößert sich seine Länge l um ein bestimmtes Stück \Delta l. Wird der Festkörper weiter gedehnt, so bildet sich die Verformung bei einem Nachlassen der Zugkraft nur noch teilweise oder sogar überhaupt nicht mehr zurück; die Verformung bleibt also bestehen (“plastische Verformung”).

fig-dehnung

Richtungen der einwirkenden Kräfte bei einer Dehnung.

Im elastischen Bereich ist die relative Längenänderung \frac{\Delta
l}{l} häufig proportional zur einwirkende Kraft F. In diesem Fall kann das Hookesche Gesetz in einer allgemeinen Form dargestellt werden:

Formel:

Eine elastische Dehnung \varepsilon = \frac{\Delta l}{l} ist proportional zur einwirkenden Zugspannung \sigma:

(1)\sigma = \frac{F}{A} = E \cdot \frac{\Delta l}{l}

Hierbei bezeichnet F die Größe der (senkrecht) einwirkenden Kraft und A die Fläche, auf welche die Kraft einwirkt. Der Proportionalitätsfaktor E wird als “Elastizitätsmodul” bezeichnet und ist eine Materialkonstante. Die Zugspannung \sigma sowie das Elastizitätsmodul E werden in der Einheit Pascal angegeben.[3]

Stellt man die von der Dehnung \varepsilon = \frac{\Delta l}{l} abhängige Zugspannung \sigma in einem Diagramm dar, so verläuft die Kurve im Hookeschen Bereich linear. Die Steigung dieser Kurve ist \tan{(\alpha)} = \frac{\sigma}{\varepsilon}, was nach Gleichung (1) gerade dem Elastizitätsmodul E entspricht.

fig-dehnungsdiagramm

Diagramm der Dehnung eines metallischen Festkörpers in Abhängigigkeit von der einwirkenden Zugspannung.

In der Praxis wird die Grenze des elastischen Bereichs üblicherweise bestimmt, indem geprüft wird, ab welcher Zugspannung eine 0,01\%-ige Dehnung bestehen bleibt. Viele Materialien, beispielsweise Metalldrähte, beginnen schließlich bei einer ausreichend großen Krafteinwirkung zu “fließen”, bis sie bei der so genannten Bruchspannung zerreißen. Spröde Materialien wie Glas hingegen brechen bereits nach Überschreiten ihrer Elastizitätsgrenze.

Material Elastizitätsmodul in \unit{GPa} = \unit{\frac{kN}{mm^2}}
Aluminium 70 bis 75
Beton 25
Diamant 800
Eisen 200
Gusseisen 75
Glas 40 bis 90
Gummi 0,5
Holz 10 bis 15
Knochen 15
Kupfer 100 bis 130
Stahl 180 bis 220
Ziegel 30

Wird ein Zugversuch sehr schnell durchgeführt, die Belastung also eher schlagartig erfolgt, so zeigt die Kurve im \sigma (\varepsilon)-Diagramm sich oftmals erhebliche Abweichungen. Auch die Temperatur hat einen Einfluss auf die Elastizität eines Materials: Beispielsweise ähneln die Eigenschaften eines weichen Stahl unter tiefen Temperaturen denen eines härteren Stahls. Üblicherweise wird der Elastizitätsmodul daher durch langsame Zugversuche bei 20 \degree ermittelt.

Querkontraktion

Mikroskopisch betrachtet sind die Veränderungen der Kristallstruktur bei einer Dehnung meist kompliziert; die Gitterstruktur von Festkörpern ist nicht perfekt, sondern weist immer einige Fehl- und Leerstellen auf. Diese Leerstellen können bei Krafteinwirkungen von benachbarten Gitteratomen aufgefüllt werden, wodurch anderer Stelle neue Lücken entstehen. Aus makroskopischer Sicht kann man bei einer Dehnung mit der Längenzunahme in den meisten Fällen auch eine Verringerung des Querschnitts feststellen; das Volumen des Festkörpers nimmt dabei geringfügig zu.

Diese so genannte Querkontraktion kann mittels der Querkontraktionszahl (“Poisson-Zahl”) \nu beschrieben werden, welche das Verhältnis der Längenänderung in Querrichtung \frac{\Delta d }{d} im Verhältnis zur Längenänderung in Zugrichtung \frac{\Delta l}{l} angibt:

(2)\nu = \frac{\Delta d / d}{\Delta l / l}

Die Querkontraktionszahl ist dimensionslos. Für die Volumenänderung bei einer Zugspannung in Längsrichtung gilt damit näherungsweise:

\frac{\Delta V}{V} = (1 - 2 \cdot \nu) \cdot \frac{\Delta l}{l}

Die Werte der Querkontraktionszahl \nu liegen üblicherweise zwischen 0 und 0,5. Ist \nu < 0,5, so nimmt bei einer wirkenden Zugspannung das Volumen zu, denn in diesem Fall ist (1-2 \cdot \nu) > 0, und \Delta V sowie \Delta l haben das gleiche Vorzeichen. Im Fall \nu = 0,5 bleibt das Volumen bei einer Zugspannung unverändert.

Material Querkontraktionszahl \nu
Aluminium 0,34
Beton 0,20
Glas 0,18 bis 0,30
Gummi 0,50
Holz 0,04 bis 0,59
Kupfer 0,35
Schaumstoff 0,10 bis 0,40
Stahl 0,27 bis 0,30

Bei manchen Materialien, beispielsweise bei Holz, sind die Werte des Elastizitätsmoduls E sowie der Querkontraktionszahl \nu davon abhängig, ob die Zugspannung in Faserrichtung oder quer zur Faserrichtung wirkt. Bei Werten von \nu > 0,5 tritt bei einer Zugspannung eine Abnahme des Volumens auf; dies ist bei diversen porösen Materialien der Fall.

Stauchung von Festkörpern

Bei einer Stauchung wirken Kräfte senkrecht auf die Oberflächen eines Körpers ein. Dabei verkürzt sich die Länge des Materials, auf die der Druck einwirkt; bei ausreichend großen Drücken lässt sich auch eine geringfügige Abnahme des Volumens feststellen. Der Probekörper kann sich bei einer Stauchung – je nach Form und Festigkeit – auch verbiegen oder umknicken, wenn die maximale Belastbarkeit überschritten wird. Typische Beispiele für Stauchungen sind das Zusammenpressen einer Schuhsohle oder eines Brückenpfeilers unter der einwirkenden Gewichtskraft.

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Richtungen der einwirkenden Kräfte bei einer Stauchung.

Auch bei einer Stauchung wird die Formänderung des Materials durch eine (Druck-)Spannung beschrieben. Die Druckspannung ist ebenso wie die Zugspannung definiert als Verhältnis der einwirkenden Kraft F zur Querschnittsfläche A des Materials. Das Symbol für die stauchende Spannung ist wiederum \sigma, die Einheit ist ebenfalls Pascal. Für eine elastische Stauchung gilt:

(3)\sigma = \frac{F}{A} = E \cdot \frac{\Delta l}{l}

Die Druckspannung entspricht formal der Zugspannung, hat jedoch aufgrund der entgegengesetzten Richtung der Kraft ein negatives Vorzeichen; ebenso ist in diesem Fall die “Stauchung” \varepsilon = \frac{\Delta l}{l} negativ. In einem Spannungs-Dehnungs-Diagramm verläuft die Kurve einer Stauchung somit im dritten Quadranten.

Bei einer elastischen Stauchung ist der Proportionalitätsfaktor E im Hookeschen Bereich mit dem Elastizitätsmodul E einer elastischen Dehnung identisch. Bei stärkeren Belastungen weicht die Form der Stauchungs-Kurve meist deutlich von der Dehnungs-Kurve ab. Bei manchen Materialien, beispielsweise Stein, Beton, Keramik oder Gusseisen sind die maximalen Belastungen gegenüber Druckspannungen zudem wesentlich größer als die gegenüber Zugspannungen.

Biegung

Eine Biegung, beispielsweise eines Balkens, entsteht durch eine Krafteinwirkung auf das eine Ende des Gegenstands, während das andere Ende fest eingespannt ist. Das Produkt aus der Länge l des Gegenstands und der Kraft F entspricht dem wirkenden Drehmoment M.

fig-biegung

Richtungen der im Material entstehenden Spannungen bei einer Biegung.

Kennzeichnend für eine Biegung ist eine “neutrale Faser” in der Mitte des Gegenstands. Oberhalb dieser neutralen Faser steht der Gegenstand unter Zugspannung und wird gedehnt, unterhalb der neutralen Faser steht der Gegenstand unter Druckspannung und wird gestaucht.

Auf Höhe der neutralen Faser wechselt die Spannung und Dehnung das Vorzeichen von positiv (Zugspannung) zu negativ (Druckspannung). Wird die Elastizitätsgrenze des Materials auf der Zug- oder Druckseite überschritten, so geht die Biegung in eine Knickung über.

Scherung und Torsion

Bei Scherungen und Torsionen werden parallel zueinander liegende Oberflächen gegeneinander verschoben oder verdreht. Die Länge des Gegenstands sowie sein Querschnitt bleiben dabei unverändert.

Scherung von Festkörpern

Bei einer Scherung wird durch Krafteinwirkung eine Seite eines Materials gegenüber einer gegenüber liegenden Seite verschoben; die scherenden Kräfte wirken dabei stets tangential zur Materialoberfläche. Eine scherende Kraft kann ein Material biegen, verschieben oder verdrehen. Ein typisches Beispiel für Scherungs-Beanspruchungen sind Kräfte, die auf Schrauben in Regalträgern einwirken. Ebenso können Zugkräfte auf Platten, die durch Nieten zusammengehalten werden, Scherspannungen hervorrufen. Auch die Schneidekanten von Scheren bewirken Scherungen im zu zerschneidenden Material.

fig-scherung-beispiel

Beispiel von scherenden Kräften auf eine Gewindestange.

Das Symbol für die Scherspannung ist \tau, die Einheit ebenfalls Pascal. Die Scherspannung ist wiederum definiert als Verhältnis der einwirkenden Kraft F zur Querschnittsfläche A des Materials. Für eine elastische Scherung gilt:

(4)\tau = \frac{F}{A} = G \cdot \frac{\Delta l}{l}

Der Proportionalitätsfaktor G wird Gleit- oder Schubmodul genannt und ist eine Materialkonstante. Die Einheit von G ist wiederum Pascal; je größer der Wert des Schubmodul eines Materials ist, desto größer ist seine auch Steifigkeit. Allgemein ist der Schubmodul eines Materials kleiner als der Elastizitätsmodul, es gilt also G < E; bei vielen Metallen beträgt der Schubmodul etwa ein Drittel ihres Elastizitätsmoduls. Scherspannungen führen somit schneller zu Brüchen als gleich große Zug- oder Druckspannungen.

fig-scherung

Richtungen der einwirkenden Kräfte bei einer Scherung.

Die Scherung \frac{\Delta l}{l} kann auch durch den Scherwinkel \tau ausgedrückt werden, denn es gilt:

\tan{(\gamma)} = \frac{\Delta l}{l}

Ist der Scherwinkel klein (< 5 \degree), so kann näherungsweise \gamma \approx \tan{(\gamma)} gesetzt werden.

Torsion von Festkörpern

Als Torsion wird eine Verdrillung eines Körpers, beispielsweise eines zylindrischen Stabes, bezeichnet. Bei dieser Art von Deformation handelt es sich prinzipiell ebenfalls um eine Scherung. Auch bei Torsionen gibt es einen elastischen Bereich, in dem die Verdrillung proportional zur Schubspannung \tau ist. Für eine elastische Torsion eines Stabes mit Radius r gilt:

(5)\frac{\tau}{r} = \frac{G}{l} \cdot \tan{(\gamma)}

Hierbei bezeichnet l die Länge des Stabs und \gamma den Torsionswinkel. Der Proportionalitätsfaktor G steht wiederum für der Schubmodul des Materials.

Kompression

Wird auf einen Körper zunehmend ein allseitiger Druck ausgeübt, beispielsweise durch hydrostatischen Druck in einer Flüssigkeit, so verkleinert sich entsprechend sein Volumen. Der Zusammenhang zwischen der auftretenden Druckänderung \Delta p und der resultierenden relativen Volumenänderung \frac{\Delta V}{V} kann mittels des so genannten Kompressionsmoduls K beschrieben werden:

(6)\Delta p = - K \cdot \frac{\Delta V}{V}

Die Einheit des Kompressionsmoduls K ist Pascal, wie auch die Einheit des Drucks. Das negative Vorzeichen in der obigen Gleichung ergibt sich daraus, dass bei einem von außen einwirkenden, positiven Druck das Volumen kleiner wird, also in diesem Fall \Delta V negativ ist.

Eine Abnahme des Volumens V bei einer Kompression ist gleichbedeutend mit einer Zunahme der Dichte \rho des Gegenstands. Dies kann man folgendermaßen herleiten:

  1. Die Masse m des Objekts ändert sich während der Kompression nicht. Somit ist die Änderung \Delta m gleich Null:

    m = \text{konstant} \quad \Longleftrightarrow \quad \Delta m = 0

  2. Für die Masse kann man m = \rho \cdot V schreiben. Für die zeitliche Änderung der Masse ergibt sich nach der Produktregel:

    \Delta (\rho \cdot V) = \rho \cdot \Delta + V \cdot \Delta \rho = 0

    \Rightarrow \rho \cdot \Delta V = -V \cdot \Delta \rho

  3. Die obige Gleichung kann folgendermaßen umgestellt werden:

    \frac{\Delta \rho}{\rho} = - \frac{\Delta V}{V}

    Man kann für die obige Gleichung (6) folglich auch schreiben:

    \Delta p = - K \cdot \frac{\Delta V}{V} = K \cdot \frac{\Delta
\rho}{\rho}

    Während also das Volumen bei einer Kompression abnimmt (negatives Vorzeichen), nimmt die Dichte zu.

Je größer der Wert des Kompressionsmoduls K ist, desto größer ist der nötige Druck, um eine bestimmte relative Volumenänderung zu erreichen. Die Werte von K von Festkörpern und Flüssigkeiten sind üblicherweise um mehrere Größenordnungen höher als die von Gasen.

Material Kompressionsmodul K in \unit{Pa}
Diamant 4,4 \cdot 10 ^{11}
Glas 3,5 \cdot 10 ^{10} bis 5,5 \cdot 10 ^{10}
Luft 1,0 \cdot 10^5 (isotherm) bis 1,4 \cdot 10^5 (adiabatisch)
Öl 1,0 \cdot 10 ^{9} bis 1,6 \cdot 10 ^{9}
Stahl 1,6 \cdot 10 ^{11}
Wasser 2,1 \cdot 10 ^{9}

Ist der Kompressionsmodul eines Materials hoch, so bedeutet dies, dass das Material einer Kompression einen hohen Widerstand entgegensetzt, sich also nur schwer komprimieren lässt. Beispielsweise bei Gasen wird hingegen häufig der Kehrwert des Kompressionsmoduls , die so genannte Kompressibilität \kappa
= \frac{1}{K} verwendet. Ein Material mit einer hohen Kompressibilität \kappa ist also leicht zu komprimieren.


Anmerkungen:

[1]

Ist der Elastizitätsmodul eines Materials hoch, so sagt man, dass das Material eine hohe “Steifigkeit” besitzt. Diese ist formal definiert als Verhältnis der aufzubringenden Kraft F zur Längenänderung \Delta l des Gegenstands:

\text{Steifigkeit} = \frac{F}{\Delta l}

Zwischen dem Elastizitätsmodul E und der Steifigkeit besteht nach Gleichung (1) somit folgender Zusammenhang:

\text{Steifigkeit} = E \cdot \frac{A}{l}

Die Steifigkeit hängt somit nicht nur vom Material eines Gegenstands, sondern auch von seiner Form ab.

[2]Streng genommen handelt es sich bei amorphen Stoffen um Flüssigkeiten mit einer sehr hohen inneren Reibung (“Viskosität”).
[3]Neben den elastischen und plastischen Verformungen sind auch so genannte viskoelastische Verformungen möglich, bei denen die elastische Verformung mit einer gewissen zeitlichen Verzögerung eintritt. In diesem Fall bildet sich die Verformung beim Nachlassen der Kraft erst nach einer gewissen Zeit zurück. Beispiele für solche viskoelastischen Stoffe sind hochpolymere Kunststoffe und die menschliche Haut.

Hinweis

Zu diesem Abschnitt gibt es Übungsaufgaben.