Bernoulli-Experimente¶
Als „Bernoulli-Experiment (benannt nach Jakob Bernoulli) bezeichnet man ein
Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen. Meist verwendet man dabei
als Ergebnismenge , wobei
als Symbol für das Eintreten des Ereignisses („Treffer“) und
als Symbol für das Nichteintreten des Ereignisses („Niete“) benutzt wird.
Zusätzlich ist es üblich, mit
die Wahrscheinlichkeit für
einen Treffer und mit
die Wahrscheinlichkeit für eine
Niete zu bezeichnen.
Wird ein Bernoulli-Experiment mehrfach durchgeführt, wobei sich die einzelnen Versuchen nicht beeinflussen und die Trefferwahrscheinlichkeiten bei allen Versuchen gleich groß sind, so spricht man von einer Bernoulli-Kette. Eine solche Bernoulli-Kette lässt sich ebenfalls durch einen Ergebnisbaum veranschaulichen.
Betrachtet man ein Ereignis mit genau Treffern, so lassen sich mittels
des Ergebnisbaums folgende Gesetzmäßigkeiten herleiten:
- Jeder einzelne Weg im Ereignisbaum, der über
Einsen und
Nullen führt, setzt sich aus
Teilstücken mit der Wahrscheinlichkeit
sowie
Teilstücken mit der Wahrscheinlichkeit
zusammen. Nach der Multiplikationsregel für bedingte Wahrscheinlichkeiten ist somit die Wahrscheinlichkeit für jeden Weg mit genau
Treffern gleich
.
- Um die Anzahl an Wegen mit genau
Einsen zu ermitteln, muss bestimmt werden, auf wie viele verschiedene Arten es möglich ist,
Einsen auf
Stellen zu verteilen. Es handelt sich hierbei um Kombinationen ohne Wiederholung, da jeder Weg nur einmal gezählt werden darf und die Reihenfolge, in der die einzelnen Wege gezählt werden, ohne Bedeutung ist. Dies entspricht dem klassischen „Lotto-Problem“, d.h. es gibt
verschiedene Kombinationen.
Aus beiden Eigenschaften ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeit, dass bei einer
Bernoulli-Kette mit einer Länge und einer Wahrscheinlichkeit
genau
Treffer auftreten:
(1)¶
Diese Formel wird häufig als „Formel von Bernoulli“ bezeichnet.
Summenwahrscheinlichkeiten bei Bernoulli-Ketten
Bezeichnet man bei einer Bernoulli-Kette mit einer Länge und einer
Trefferwahrscheinlichkeit
das Ereignis „genau
Treffer“ mit
, so gilt:
und
Alle Ereignisse , die jeweils
Treffer bedeuten,
sind paarweise stochastisch unabhängig; die einzelnen Wahrscheinlichkeiten
können also addiert werden.
Für ein Bernoulli-Experiment mit einer Länge und einer
Trefferwahrscheinlichkeit
gelten somit folgende Regeln:
Für mindestens
Treffer:
Für höchstens
Treffer:
Für mindestens
und höchstens
Treffer:
… to be continued …