Bernoulli-Experimente

Als Bernoulli-Experiment bezeichnet man ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen. Meist verwendet man dabei als Ergebnismenge \Omega = \{ 0 ,\, 1 \}, wobei 1 als Symbol für das Eintreten des Ereignisses (“Treffer”) und 0 als Symbol für das Nichteintreten des Ereignisses (“Niete”) benutzt wird. Zusätzlich ist es üblich, mit p = P(\{ 1 \} ) die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer und mit q = P(\{ 0 \} ) die Wahrscheinlichkeit für eine Niete zu bezeichnen.

Wird ein Bernoulli-Experiment mehrfach durchgeführt, wobei sich die einzelnen Versuchen nicht beeinflussen und die Trefferwahrscheinlichkeiten bei allen Versuchen gleich groß sind, so spricht man von einer Bernoulli-Kette. Eine solche Bernoulli-Kette lässt sich ebenfalls durch einen Ergebnisbaum veranschaulichen.

Betrachtet man ein Ereignis mit genau k Treffern, so lassen sich mittels des Ergebnisbaums folgende Gesetzmäßigkeiten herleiten:

  • Jeder einzelne Weg im Ereignisbaum, der über k Einsen und n-k Nullen führt, setzt sich aus k Teilstücken mit der Wahrscheinlichkeit p sowie (n-k) Teilstücken mit der Wahrscheinlichkeit q=(1-p) zusammen. Nach der Multiplikationsregel für bedingte Wahrscheinlichkeiten ist somit die Wahrscheinlichkeit für jeden Weg mit genau k Treffern gleich p^k \cdot q^{n-k}.
  • Um die Anzahl an Wegen mit genau k Einsen zu ermitteln, muss bestimmt werden, auf wie viele verschiedene Arten es möglich ist, k Einsen auf n Stellen zu verteilen. Es handelt sich hierbei um Kombinationen ohne Wiederholung, da jeder Weg nur einmal gezählt werden darf und die Reihenfolge, in der die einzelnen Wege gezählt werden, ohne Bedeutung ist. Dies entspricht dem klassischen “Lotto-Problem”, d.h. es gibt \binom{n}{k} =
\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} verschiedene Kombinationen.

Aus beiden Eigenschaften ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Bernoulli-Kette mit einer Länge n und einer Wahrscheinlichkeit p genau T=k Treffer auftreten:

(1)P(T=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q ^{n-k}

Diese Formel wird häufig als “Formel von Bernoulli” bezeichnet.

Summenwahrscheinlichkeiten bei Bernoulli-Ketten

Bezeichnet man bei einer Bernoulli-Kette mit einer Länge n und einer Trefferwahrscheinlichkeit p das Ereignis “genau k Treffer” mit M_{\mathrm{k}}, so gilt:

P(T \le k) = P (M_0 \cup M_1 \cup \ldots \cup M_{\mathrm{k}})

und

P(T \ge k) = P (M_{\mathrm{k}} \cup M_{\mathrm{k+1}} \cup \ldots \cup
M_{\mathrm{n}})

Alle Ereignisse M_{\mathrm{i}}, die jeweils T=i Treffer bedeuten, sind paarweise stochastisch unabhängig; die einzelnen Wahrscheinlichkeiten können also addiert werden.

Für ein Bernoulli-Experiment mit einer Länge n und einer Trefferwahrscheinlichkeit p gelten somit folgende Regeln:

  • Für mindestens k Treffer:

    P(T \ge k) = \sum_{i=k}^{n}  \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot q ^{n-i}

  • Für höchstens k Treffer:

    P(T \le k) = \sum_{i=0}^{k}  \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot q ^{n-i}

  • Für mindestens l und höchstens k Treffer:

    P (l \le T \le k) = \sum_{i=l}^{k}  \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot q ^{n-i}

... to be continued ...