Regelmäßige Vielecke

Ein n-Eck, bei dem alle Seiten gleich lang und alle Innen- beziehungsweise Außenwinkel gleich groß sind, wird regelmäßige Vieleck genannt.

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Beispiel eines regelmäßigen Vielecks

SVG: Vieleck (regelmäßig)

Regelmäßige Vielecke haben folgende Eigenschaften:

  • Jedes regelmäßige n-Eck hat jeweils n Ecken, n Seiten, n Innen- beziehungsweise Außenwinkel sowie \frac{n \cdot (n-3)}{2} Diagonalen.
  • Jedes regelmäßige n-Eck ist n-fach punktsymmetrisch.
  • Um jedes regelmäßige n-Eck lässt sich ein Kreis zeichnen, der durch alle Ecken verläuft; diesen bezeichnet man als Umkreis.
  • In jedes regelmäßige n-Eck lässt sich ein Kreis zeichnen, der alle Seitenmitten berührt; diesen bezeichnet man als Inkreis.
  • Das gemeinsame Zentrum von Um- und Inkreis ist der Mittelpunkt des Vielecks.
  • Verbindet man den Mittelpunkt mit den Ecken, so erhält man n kongruente, gleichschenklige Dreiecke; diese werden auch „Bestimmungsdreiecke“ genannt.
  • Jeder Innenwinkel eines regelmäßigen n-Ecks beträgt \frac{n-2}{n} \cdot \unit[180]{\degree}.
  • Jeder Außenwinkel eines regelmäßigen n-Ecks beträgt \frac{\unit[360]{\degree}}{n}.

Bezeichnet die Seitenlänge mit s, den Radius des Inkreises mit r_1 und den Radius des Umkreises mit r_2, so gilt für den Umfang und die Fläche eines regelmäßigen n-Ecks:

\text{Fl\"ache} &= \frac{n}{2} \cdot s \cdot r_1 = \frac{n}{2} \cdot s \cdot \sqrt{r_2^2 - \frac{s^2}{4}} \\[10pt] \text{Umfang} &= n \cdot s

Beliebige (auch nicht regelmäßige) Vielecke haben zudem allgemein folgende Eigenschaften:

  • Die Summe der Innenwinkel eines n-Ecks beträgt (n-2) \cdot \unit[180]{\degree}.
  • Die Summe der Außenwinkel eines n-Ecks beträgt stets \unit[360]{\degree}.
  • Ein Innenwinkel und sein zugehöriger Außenwinkel betragen in Summe stets \unit[180]{\degree} (da es sich um Nebenwinkel handelt).
  • Die Winkelhalbierenden eines Innenwinkels und die des zugehörigen Außenwinkels sind zueinander stets senkrecht.
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Beispiel eines unregelmäßigen Vielecks

SVG: Vieleck (unregelmäßig)

Per Festlegung haben n-Ecke zudem keine nach innen zeigenden Ecken sowie keine einander schneidenden Seiten.