Kreis und Ellipse

Der Kreis

Jeder Kreis besitzt als Besonderheit, dass alle Punkte auf der Kreislinie gleich weit vom Mittelpunkt M entfernt liegen.

fig-kreis

Grundform eines Kreises.

Für den Umfang und die Fläche eines Kreises mit Radius r gilt:

(1)\text{Umfang} &= 2 \cdot \pi \cdot r \\[4pt]
\text{Fl\"ache} &= \pi \cdot r^2

Dabei wird \pi \approx 3,14159265... als “Kreiszahl” bezeichnet.

Der Kreisbogen

Wird anstelle eines ganzen Kreises nur ein Teil der Kreislinie gezeichnet, so bezeichnet man den entsprechenden Kreisteil als Kreisbogen.

fig-kreisbogen

Der Kreisesbogen als Teil des Kreisumfangs.

Die Länge eines Kreisbogens hängt vom Umfang des entsprechenden Kreises ab und davon, welchen Anteil des gesamten Kreises der Kreisbogen ausmacht. Dieser Anteil wird durch den Mittelpunktswinkel \alpha beschrieben, wobei \alpha = 360° einer vollen Umdrehung entspricht. Gilt \alpha <
360°, so steht die Kreisbogenlänge s im gleichen Verhältnis zum Umfang 2 \cdot \pi \cdot r des ganzen Kreises wie \alpha zu 360°:

\frac{s}{2 \cdot \pi \cdot r} = \frac{\alpha }{360 °}

Nach dieser Gleichung, aufgelöst nach s, ergibt sich für die Länge des Kreisbogens:

(2)s = \frac{\alpha }{360°} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r

Gradmaß und Bogenmaß

Der Mittelpunktswinkel \alpha eines Kreisbogens wird gewöhnlich im Gradmaß angegeben. 360° entsprechen dabei dem vollen Kreisumfang. Betrachtet man einen Einheitskreis (Radius r = 1), so hat in diesem Fall der Kreisumfang beziehungsweise ein geschlossener Kreisbogen eine Länge von s = 2 \cdot \pi. Damit kann der Mittelpunktswinkel \alpha auch durch die Länge s des Kreisbogens angegeben werden, wobei 2 \cdot
\pi dem vollen Kreisumfang entspricht.

fig-gradmaß-und-bogenmaß

Gradmaß und Bogenmaß an einem Einheitskreis (r = 1).

Für einen Einheitskreis kann folgende “Umrechnung” zwischen dem Gradmaß und dem Bogenmaß verwendet werden:

360° \stackrel{\wedge}= 2 \cdot \pi

Um einen Winkel vom Gradmaß ins Bogenmaß umzurechnen, wird dieser durch 360° geteilt und mit 2 \cdot \pi multipliziert. Im umgekehrten Fall lässt sich ein Winkel vom Bogenmaß ins Gradmaß umrechnen, indem er durch 2 \cdot \pi geteilt und mit 360° multipliziert wird.[1]

Die Grundeinheit \frac{1}{2 \cdot \pi } des Bogenmaßes wird auch als “Radiant” (\unit[1]{rad}) bezeichnet. Ein Radiant entspricht ungefähr einem Winkelmaß von 57,3 \degree.

Der Kreissektor

Verbindet man einen Kreisbogen mit dem Mittelpunkt, so ergibt sich eine Fläche in Form eines Tortenstücks. Mathematisch wird diese Fläche als Kreissektor bezeichnet.

fig-kreissektor

Der Kreissektor als Teil der Kreisfläche.

Der Flächeninhalt eines Kreissektors entspricht – analog zum Kreisbogen – dem \alpha / 360°-sten Anteil der Gesamt-Kreisfläche \pi \cdot r^2:

\text{Fl\"ache des Kreissektors} &= \frac{\alpha }{360°} \cdot \pi \cdot r^2


Anmerkungen:

[1]Gilt für den Radius eines Kreisbogens r \ne 1, so muss bei der Umrechnung des Mittelpunktswinkels \alpha vom Grad- ins Bogenmaß die Länge des Kreisbogens s mit dem Radius r multipliziert werden. Umgekehrt ist bei der Umrechnung des Mittelpunktswinkels vom Bogenmaß ins Gradmaß die Kreisbogenlänge s durch den Radius r zu dividieren.