Kreis und Ellipse

Der Kreis

Jeder Kreis besitzt als Besonderheit, dass alle Punkte auf der Kreislinie gleich weit vom Mittelpunkt M entfernt liegen.

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Grundform eines Kreises.

Für den Umfang und die Fläche eines Kreises mit Radius r gilt:

(1)\text{Umfang} &= 2 \cdot \pi \cdot r \\[4pt]
\text{Fl\"ache} &= \pi \cdot r^2

Dabei wird \pi \approx 3,14159265... als “Kreiszahl” bezeichnet.

Der Kreisbogen

Wird anstelle eines ganzen Kreises nur ein Teil der Kreislinie gezeichnet, so bezeichnet man den entsprechenden Kreisteil als Kreisbogen.

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Der Kreisesbogen als Teil des Kreisumfangs.

Die Länge eines Kreisbogens hängt vom Umfang des entsprechenden Kreises ab und davon, welchen Anteil des gesamten Kreises der Kreisbogen ausmacht. Dieser Anteil wird durch den Mittelpunktswinkel \alpha beschrieben, wobei \alpha = 360° einer vollen Umdrehung entspricht. Gilt \alpha <
360°, so steht die Kreisbogenlänge s im gleichen Verhältnis zum Umfang 2 \cdot \pi \cdot r des ganzen Kreises wie \alpha zu 360°:

\frac{s}{2 \cdot \pi \cdot r} = \frac{\alpha }{360 °}

Nach dieser Gleichung, aufgelöst nach s, ergibt sich für die Länge des Kreisbogens:

(2)s = \frac{\alpha }{360°} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r

Gradmaß und Bogenmaß

Der Mittelpunktswinkel \alpha eines Kreisbogens wird gewöhnlich im Gradmaß angegeben. 360° entsprechen dabei dem vollen Kreisumfang. Betrachtet man einen Einheitskreis (Radius r = 1), so hat in diesem Fall der Kreisumfang beziehungsweise ein geschlossener Kreisbogen eine Länge von s = 2 \cdot \pi. Damit kann der Mittelpunktswinkel \alpha auch durch die Länge s des Kreisbogens angegeben werden, wobei 2 \cdot
\pi dem vollen Kreisumfang entspricht.

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Gradmaß und Bogenmaß an einem Einheitskreis (r = 1).

Für einen Einheitskreis kann folgende “Umrechnung” zwischen dem Gradmaß und dem Bogenmaß verwendet werden:

360° \stackrel{\wedge}= 2 \cdot \pi

Um einen Winkel vom Gradmaß ins Bogenmaß umzurechnen, wird dieser durch 360° geteilt und mit 2 \cdot \pi multipliziert. Im umgekehrten Fall lässt sich ein Winkel vom Bogenmaß ins Gradmaß umrechnen, indem er durch 2 \cdot \pi geteilt und mit 360° multipliziert wird.[1]

Die Grundeinheit \frac{1}{2 \cdot \pi } des Bogenmaßes wird auch als “Radiant” (\unit[1]{rad}) bezeichnet. Ein Radiant entspricht ungefähr einem Winkelmaß von 57,3 \degree.

Der Kreissektor

Verbindet man einen Kreisbogen mit dem Mittelpunkt, so ergibt sich eine Fläche in Form eines Tortenstücks. Mathematisch wird diese Fläche als Kreissektor bezeichnet.

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Der Kreissektor als Teil der Kreisfläche.

Der Flächeninhalt eines Kreissektors entspricht – analog zum Kreisbogen – dem \alpha / 360°-sten Anteil der Gesamt-Kreisfläche \pi \cdot r^2:

\text{Fl\"ache des Kreissektors} &= \frac{\alpha }{\unit[360]{\degree}}
\cdot \pi \cdot r^2

Sehnen und Tangenten

Als Kreissehne bezeichnet man eine Strecke, die zwischen zwei auf einem Kreis liegenden Punkten verläuft. Jede Kreissehne (mit Ausnahme des Durchmessers) unterteilt den Kreis in zwei verschieden große Kreisbögen; den kleineren von beiden nennt man den zur Sehne gehörenden Kreisbogen. Der Winkel zwischen dem Mittelpunkt und den beiden Endpunkten einer Sehne heißt Zentriwinkel.

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Kreissehne, Kreisbogen und Zentriwinkel.

Kreissehnen bringen folgende Eigenschaften mit sich:

  • Die durch den Mittelpunkt des Kreises und den Mittelpunkt der Sehne verlaufende Gerade halbiert die beiden Kreisbögen und den Zentriwinkel; sie ist Symmetrieachse des Dreiecks, das aus den Endpunkten der Sehne und dem Kreismittelpunkt gebildet wird.

  • Sind zwei Sehnen gleich lang, so sind aufgrund der Punktsymmetrie des Kreises auch die zugehörigen Kreisbögen, Zentriwinkel und Kreissektoren gleich groß.

    Sind zwei Sehnen unterschiedlich lang, so gehört zur größeren Sehne der größere Kreisbogen sowie der größere Zentriwinkel.

Verschiebt man eine Sekante parallel, bis sie den Kreis nur noch in einem einzigen Punkt berührt, so spricht man von einer Tangente. Jede Tangente steht senkrecht auf der zum Berührpunkt gehörenden Radius-Linie.

Kreiswinkel

Jeder Sehne beziehungsweise jedem Kreisbogen kann eindeutig ein Zentriwinkel zugeordnet werden. Verbindet man die Endpunkte der Sehne mit einem beliebigen Punkt, der auf dem “entfernten” (großen) Kreisbogen liegt, so erhält man so genannte “Peripherie-Winkel”. Diese Peripherie-Winkel eines Kreisbogens sind allesamt gleich groß; betraglich sind sie halb so groß wie der zum Kreisbogen gehörende Zentriwinkel:

\alpha = 2 \cdot \beta

fig-kreiswinkel

Zentriwinkel und Peripheriewinkel

Gehören zwei Peripheriewinkel eines Kreises zur selben Sehne, aber zu verschiedenen Kreisbögen, so beträgt die Summe beider Winkel \beta +
\beta^{*} = \unit[180]{\degree}. Jede Viereck, das auf diese Weise gebildet wird (dessen vier Ecken also auf einem gemeinsamen Umkreis liegen) nennt man “Sehnenviereck”; in einem solchen beträgt die Summe der jeweils gegenüber liegenden Winkel je \unit[180]{\degree}

Der Satz des Thales

Beträgt der Zentriwinkel eines Kreisbogens \unit[180]{\degree} (was bei jedem Halbkreis der Fall ist), so haben sämtliche Peripheriewinkel des einen Betrag von \unit[90]{\degree}; sie sind also rechte Winkel.

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Konstruktion von rechten Winkel mittels des Satzes von Thales.


Anmerkungen:

[1]Gilt für den Radius eines Kreisbogens r \ne 1, so muss bei der Umrechnung des Mittelpunktswinkels \alpha vom Grad- ins Bogenmaß die Länge des Kreisbogens s mit dem Radius r multipliziert werden. Umgekehrt ist bei der Umrechnung des Mittelpunktswinkels vom Bogenmaß ins Gradmaß die Kreisbogenlänge s durch den Radius r zu dividieren.