Eigenschaften von Funktionen¶
Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Eigenschaften von Funktionen.
Stetigkeit
Eine Funktion
ist genau dann an einer Stelle
stetig, wenn dort ihr linksseitiger und ihr rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen. Bei der stufenweise definierten Funktion gilt für den linksseitigen Grenzwert an der Stelle
:
Für den rechtsseitigen Grenzwert gilt:
Beide Grenzwerte stimmen überein und sind mit dem Funktionswert
an der Stelle
identisch. Damit ist die Funktion
an dieser Stelle stetig.
Die Funktion
ist als Hyperbelfunktion an jeder Stelle außer
stetig. An dieser Stelle ist die Funktion nicht definiert, somit kann an dieser Stelle auch keine Aussage über ihre Stetigkeit getroffen werden.
Die Funktion
ist also an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs und somit global stetig.