Volumen bei Rotation um die
-Achse¶
Bei dieser Aufgabe geht es um eine Volumensberechnung beziehungsweise um die Berechnung eines bestimmten Integrals
Aufgabe:
Das Volumen eines Rotationskörpers soll berechnet werden. Gegeben sind die
erzeugende Funktion, die Untergrenze und die Obergrenze des Intervalls. Die
Rotation soll um die -Achse erfolgen. Die Aufgabe soll für die
Funktion
gelöst werden, wobei die
Untergrenze bei
und die Obergrenze bei
liegen soll.
Lösung:
Der Graph der Funktion kann mit Hilfe von
numpy und der matplotlib geplottet werden:
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# Wertereihen erzeugen:
x = np.arange(start=1,stop=5, step=0.01)
y = x**2 + x + 1/x
# Funktion plotten:
plt.plot(x,y)
# Layout anpassen:
plt.axis([0,6,0,35])
plt.xlabel("$x$")
plt.ylabel("$y$")
plt.grid(True)
plt.text(3.5, 30, "$f(x)=x^2 + x + 1/x$")
plt.show()
Das Ergebnis sieht folgendermaßen aus:
Um das Volumen des aus bei Rotation um die
-Achse
entstehenden Rotionskörpers zu berechnen, kann man sich diesen aus lauter
winzig schmalen (Zylinder-)Scheiben zusammengesetzt denken. Jede dieser Scheiben
hat als Radius den Wert
, als Höhe den Wert
und als Volumen somit
. Alle diese infinitesimalen Volumina müssen aufsummiert werden,
was folgendem Integral entspricht:
Dieses Integral kann mittels Sympy berechnet werden. Der Code dazu lautet folgendermaßen:
import sympy as sy
# Sympy-Variablen initiieren:
x = sy.S( 'x' )
a, b = sy.S( [1, 5] )
# Bestimmtes Integral berechnen:
sy.integrate( sy.pi * (x**2 + x + 1/x) , (x,a,b) )
# Ergebnis: 15164*pi/15
# Alternativ: Ergebnis als Fließkommazahl ausgeben:
sy.integrate( sy.pi * (x**2 + x + 1/x) , (x,a,b) ).evalf()
# Ergebnis: 3175.94073326904
Das Volumen des Rotationskörpers beträgt somit rund
Volumeneinheiten.