Regelmäßige Vielecke¶
Ein -Eck, bei dem alle Seiten gleich lang und alle Innen-
beziehungsweise Außenwinkel gleich groß sind, wird regelmäßige Vieleck genannt.
Regelmäßige Vielecke haben folgende Eigenschaften:
- Jedes regelmäßige
-Eck hat jeweils
Ecken,
Seiten,
Innen- beziehungsweise Außenwinkel sowie
Diagonalen.
- Jedes regelmäßige
-Eck ist
-fach punktsymmetrisch.
- Um jedes regelmäßige
-Eck lässt sich ein Kreis zeichnen, der durch alle Ecken verläuft; diesen bezeichnet man als Umkreis.
- In jedes regelmäßige
-Eck lässt sich ein Kreis zeichnen, der alle Seitenmitten berührt; diesen bezeichnet man als Inkreis.
- Das gemeinsame Zentrum von Um- und Inkreis ist der Mittelpunkt des Vielecks.
- Verbindet man den Mittelpunkt mit den Ecken, so erhält man
kongruente, gleichschenklige Dreiecke; diese werden auch „Bestimmungsdreiecke“ genannt.
- Jeder Innenwinkel eines regelmäßigen
-Ecks beträgt
.
- Jeder Außenwinkel eines regelmäßigen
-Ecks beträgt
.
Bezeichnet die Seitenlänge mit , den Radius des Inkreises mit
und den Radius des Umkreises mit
, so gilt für den Umfang
und die Fläche eines regelmäßigen
-Ecks:
Beliebige (auch nicht regelmäßige) Vielecke haben zudem allgemein folgende Eigenschaften:
- Die Summe der Innenwinkel eines
-Ecks beträgt
.
- Die Summe der Außenwinkel eines
-Ecks beträgt stets
.
- Ein Innenwinkel und sein zugehöriger Außenwinkel betragen in Summe stets
(da es sich um Nebenwinkel handelt).
- Die Winkelhalbierenden eines Innenwinkels und die des zugehörigen Außenwinkels sind zueinander stets senkrecht.
Per Festlegung haben -Ecke zudem keine nach innen zeigenden Ecken sowie
keine einander schneidenden Seiten.