Linsensysteme

Häufig wird in optischen Geräten nicht nur eine einzelne, sondern vielmehr eine Kombination mehrerer Sammel- beziehungsweise Zerstreuungslinsen genutzt. Einige wichtige Eigenschaften, die sich bei derartigen Anordnungen auftreten, werden im folgenden Abschnitt näher beschrieben.

Brennweite und Brechkraft eines Linsensystems

Soll die Brennweite f_{\mathrm{ges}} eines solchen Systems mehrerer Linsen bestimmt werden, so kann man die Kehrwerte der Brennweiten aller Linsen addieren, um den Kehrwert der Gesamtbrennweite zu erhalten:

(1)\frac{1}{f_{\mathrm{ges}}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} + \ldots

Die Brennweiten von Sammellinsen werden dabei positiv, die von Zerstreuungslinsen negativ gezählt.

Beispiele:

  • Eine Kombination zweier Sammellinsen mit den Brennweiten f_1 =
\unit[10]{cm} und f_2 = \unit[15]{cm} hat insgesamt folgende Brennweite:

    \frac{1}{f_{\mathrm{ges}}} = \frac{1}{\unit[0,1]{m}} +
\frac{1}{\unit[0,15]{m}} \quad \Leftrightarrow \quad f_{\mathrm{ges}} =
\frac{1}{\frac{1}{\unit[0,1]{m}} + \frac{1}{\unit[0,15]{m}}} =
\unit[0,06]{m}

    Die beiden Linsen haben zusammen somit die gleiche Brechkraft wie eine einzelne (Sammel-)Linse mit f = \unit[6]{cm} Brennweite.

  • Eine Kombination einer Sammellinse mit einer Brennweite von f_1 =
\unit[30]{cm} und einer Zerstreuungslinse mit einer Brennweite von f_2 = \unit[-10]{cm} hat insgesamt folgende Brennweite:

    \frac{1}{f_{\mathrm{ges}}} = \frac{1}{\unit[0,3]{m}} -
\frac{1}{\unit[0,1]{m}} \quad \Leftrightarrow \quad f_{\mathrm{ges}} =
\frac{1}{\frac{1}{\unit[0,3]{m}} - \frac{1}{\unit[0,1]{m}}} =
-\unit[0,15]{m}

    Die beiden Linsen haben zusammen somit die gleiche Brechkraft wie eine einzelne (Zerstreuungs-)Linse mit f = -\unit[15]{cm} Brennweite.

Kombiniert man eine Sammellinse mit einer Zerstreuungslinse (betragsweise) gleicher Brennweite, so ergibt sich \frac{1}{f} = 0 beziehungsweise f = \infty. Ein solches System hat eine unendliche Brennweite, d.h. einfallende Lichtstrahlen werden durch diese Linsenkombination quasi nicht gebrochen, sondern durchlaufen es ohne Ablenkung.

Die Brennweiten von Linsen lassen sich, wie im letzten Abschnitt gezeigt, nicht direkt addieren, sondern nur ihre Brennwerte. Aus diesem Grund wurde als physikalische Größe die so genannte Brechkraft D eingeführt, die als Kehrwert der Brennweite f definiert ist:

(2)D = \frac{1}{f}

Die Brechkraft einer Linse wird in Dioptrien (\unit[]{dpt}) angegeben. Eine Dioptrie entspricht der Brechkraft einer Sammellinse, die eine Brennweite von einem Meter hat:

\unit[1]{dpt} = \unit[1]{\frac{1}{m}}

Je kleiner die Brennweite einer Linse ist, desto größer ist ihre Brechkraft und somit auch ihre Dioptrienzahl; beispielsweise entspricht eine Brennweite von \unit[\frac{1}{2}]{m} einer Brechkraft von \unit[2]{dpt} oder eine Brennweite von \unit[\frac{1}{4}]{m} einer Brechkraft von \unit[4]{dpt}.

Die Dioptrienzahl D_{\mathrm{ges}} eines Linsensystems ist gleich der Summe der Dioptrienzahlen der einzelnen Linsen; die Brechkraft von Sammellinsen erhält dabei wiederum ein positives, die von Zerstreuungslinsen ein negatives Vorzeichen. Es gilt also:

(3)D_{\mathrm{ges}} = D_1 + D_2 + \ldots

Linsenfehler und Abhilfen

Die Brechkraft einer Sammel- beziehungsweise Zerstreuungslinse wird üblicherweise für Lichtstrahlen angegeben, die nahe der optischen Achse auf die Linse treffen. Strahlen, die auf den Randbereich der Linse treffen (“Randstrahlen”), werden stärker gebrochen. Einfallende Parallelstrahlen durchlaufen also keine gemeinsamen Brennpunkt und können somit durch die Linse nicht gemeinsam mit den achsennah einfallenden Strahlen in einem einzigen Punkt scharf abgebildet werden. Es gilt:

f_{\mathrm{Rand}} < f_{\mathrm{Mitte}}

Die Verschiebung des Brennpunkts bei Randstrahlen wird als sphärische Aberration bezeichnet. Um diesen Linsenfehler zu verhindern, gibt es grundsätzlich zwei Möglichkeiten:

  • Durch eine Blende kann verhindert werden, dass Lichtstrahlen auf den Rand der Linse treffen. Hierdurch werden jedoch der Bildausschnitt und die einfallende Lichtstärke reduziert.
  • Durch eine Kombination einer Sammel- und einer Zerstreuungslinse mit unterschiedlichen Brechkräften kann gemäß Gleichung (1) ein Linsensystem mit der gewünschten Brechkraft erzeugt werden, das zugleich die sphärische Aberration (nahezu) auf Null reduziert. Derartige Linsensysteme werden beispielsweise in Objektiven von Fotokameras eingesetzt.

Ein weiterer Linsenfehler entsteht dadurch, dass verschieden farbiges Licht beim Durchgang durch die Linse ungleich stark gebrochen wird; in der Regel wird rotes Licht am schwächsten, violettes Licht am stärksten gebrochen. Dieser Effekt wird als chromatische Aberration bezeichnet. Es gilt:

f_{\mathrm{violett}} < f_{\mathrm{rot}}

Im Gegensatz zur sphärischen chromatische Aberration kann die chromatische Aberration nie vollständig durch geschickte Linsen-Kombinationen beseitigt werden.

Der Abbildungsmaßstab und die Linsengleichung

Das vergrößerte beziehungsweise verkleinerte Bild, das sich bei einer Abbildung durch eine optische Linse ergibt, kann nicht nur durch geometrische Konstruktion sondern auch rechnerisch bestimmt werden.

fig-strahlensatz-abbildungsgleichung

Herleitung der Abbildungsgleichung (Strahlensatz).

Wendet man den 2. Strahlensatz auf die obige Abbildung an, so erkennt man, dass die Größe G des Gegenstands im gleichen Verhältnis zur Entfernung g des Gegenstands von der Linse steht wie die Größe des Bildes B zu seiner Entfernung b von der Linse:

\frac{B}{b} = \frac{G}{g}

Formt man diese für Sammel- wie für Zerstreuungslinsen gleichermaßen gültige Gleichung um, so erhält man den Maßstab \tilde{\beta}, der sich bei der Abbildung durch die Linse ergibt:

(4)\tilde{\beta} = \frac{B}{G} = \frac{b}{g} {\color{white}\;\;\; .}

Der Abbildungsmaßstab \tilde{\beta} hat keine Einheit, sondern ist ein reines Zahlenverhältnis. Sein Wert ist kleiner als Eins im Fall einer Verkleinerung und größer als Eins im Fall einer Vergrößerung.

Häufig lassen sich im praktischen Anwendungsfall die Gegenstandsgröße G sowie die Gegenstandsweite g durch eine gewöhnliche Längenmessung ermitteln. Um damit jedoch mittels Gleichung (4) auf die Bildgröße B und die Bildweite b schließen zu können, ist neben der eine zusätzliche Gleichung nötig.

fig-strahlensatz-linsengleichung

Herleitung der Linsengleichung (Strahlensatz).

Wendet man den 2. Strahlensatz auf die obige Abbildung an, so erkennt man, dass die Größe G des Gegenstands im gleichen Verhältnis zur Größe B des Bildes steht wie die Entfernung g-f des Gegenstands vom Brennpunkt zur Brennweite f der Linse:

\frac{G}{B} = \frac{g-f}{f}

Die rechte Seite dieser Gleichung kann in zwei Terme aufgeteilt werden:

\frac{G}{B} = \frac{g-f}{f} = \frac{g}{f} - 1

Das Verhältnis \frac{G}{B} der Gegenstands- zur Bildgröße ist nach Gleichung (4) mit dem Verhältnis \frac{g}{b} der Gegenstands- zur Bildweite identisch. Somit gilt:

\frac{g}{b} = \frac{g}{f} - 1

Dividiert man diese Gleichung durch g und sortiert die Terme, so erhält man die so genannte “Linsengleichung”, die üblicherweise in folgender Form angegeben wird:

(5)\frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{g}

Bei einer bekannten Brennweite kann mittels dieser Gleichung anhand der Gegenstandsweite g unmittelbar die Bildweite b berechnet werden. Setzt man den erhaltenen Wert von b in die Abbildungsgleichung (4) ein, so erhält man schließlich auch die gesuchte Bildgröße B und damit den Abbildungsmaßstab.


Hinweis

Zu diesem Abschnitt gibt es Übungsaufgaben.