Lösungen zu elektronischen Bauteilen

Widerstände

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Widerstände.

  • Der erste Ring ist braun, somit ist die erste Ziffer des Widerstandswertes gleich 1. Der zweite Ring ist schwarz, somit ist die zweite Ziffer des Widerstandswertes gleich 0. Der dritte Ring ist gelb, somit sind vier Nullen an den Zahlenwert anzuhängen. Insgesamt ergibt sich somit ein Widerstandswert von \unit[100\,000]{\Omega } = \unit[100]{k \Omega }.

    fig-widerstand-farbringe-01-loesung

    Farbringe-Beispiel 01 (Lösung).

    SVG: Farbringe-Beispiel 01 (Lösung)

    Der goldfarbene Ring am rechten Rand zeigt an, dass der Toleranzbereich bei 5\% liegt. Der tatsächliche Wert des Widerstands liegt somit zwischen \unit[95]{k \Omega } und \unit[105]{k \Omega }.

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  • Die ersten beiden Ringe des Widerstands sind rot, somit haben die ersten beiden Ziffern des Widerstandswertes jeweils den Wert 2. Der dritte Ring ist orange, so dass an den Zahlenwert drei Nullen anzuhängen sind. Der Widerstand hat somit einen Wert von \unit[22\,000]{\Omega } = \unit[22]{k \Omega }.

    fig-widerstand-farbringe-02-loesung

    Farbringe-Beispiel 02 (Lösung).

    SVG: Farbringe-Beispiel 02 (Lösung)

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  • Der Zahlenwert 332 des Widerstands hat drei von Null verschiedene Zahlenziffern; somit muss es sich um einen Metallschicht-Widerstand mit fünf Ringen handeln. Die ersten beiden Ziffern des Zahlenwertes sind jeweils 3; somit müssen die ersten beiden Farbringe orange sein. Die dritte Ziffer ist 2; somit muss der dritte Farbring rot sein. Es muss keine Null angehängt werden, somit ist der vierte Farbring schwarz.

    fig-widerstand-farbringe-03-loesung

    Farbringe-Beispiel 03 (Lösung).

    SVG: Farbringe-Beispiel 03 (Lösung)

    Der fünfte Farbring ist ohne Angabe eines Toleranzbereiches nicht festgelegt. (Metallschicht-Widerstände haben üblicherweise einen Toleranzbereich von 1\% oder geringer.)

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  • Der Widerstand hat fünf Ringe, somit geben die ersten drei Ziffern den Zahlenwert und die vierte Ziffer den Multiplikator bzw. die Anzahl an Nullen an.

    Der erste Ring ist braun, somit ist die erste Ziffer des Widerstandswertes gleich 1. Der zweite Ring ist grün, somit ist die zweite Ziffer des Widerstandswertes gleich 5. Der dritte Ring ist schwarz, somit ist die dritte Ziffer des Widerstandswertes gleich 0. Der vierte Ring ist orange, somit sind drei Nullen an den Zahlenwert anzuhängen. Insgesamt ergibt sich somit ein Widerstandswert von \unit[150\,000]{\Omega} = \unit[150]{k \Omega}.

    fig-widerstand-farbringe-04-loesung

    Farbringe-Beispiel 04 (Lösung).

    SVG: Farbringe-Beispiel 04 (Lösung)

    Der fünfte Ring ist violett, somit liegt der Toleranzbereich bei 0,1\%. Der tatsächliche Wert des Widerstands liegt somit zwischen \unit[95]{k \Omega} und \unit[105]{k \Omega}.

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Kondensatoren

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Kondensatoren.

  • Für die im Kondensator gespeicherte Ladung Q gilt:

    Q = C \cdot U = \unit[100 \cdot 10^{-6}]{F} \cdot \unit[9,0]{V} = \unit[0,9 \cdot 10^{-3}]{Q}

    Die Einheit ergibt sich aus der Beziehung \unit{F} = \unit{\tfrac{Q}{V}}. Im Kondensator ist somit eine Ladung von knapp einem Mili-Coulomb gespeichert.

    Für die gespeicherte Energiemenge E gilt:

    E = \frac{1}{2} \cdot C \cdot U^2 = \frac{1}{2} \cdot \unit[100 \cdot 10^{-6}]{F} \cdot \left( \unit[9,0]{V} \right)^2 \approx \unit[0,004]{J}

    Die Einheit ergibt sich aus folgender Beziehung:

    \unit{F \cdot V^2} = \unit{\frac{C}{V} \cdot V^2} = \unit{C \cdot V} = \unit{A \cdot s \cdot V} = \unit{W \cdot s} = \unit{J}

    Im Kondenator sind somit rund \unit[4]{mJ} an Energie gespeichert.

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  • Für den zeitlichen Spannungsverlauf während des Ladevorgangs gilt für Kondensatoren:

    U_{\mathrm{C}} &= U \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right) \\[4pt] &= U - U \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}

    Um die Gleichung zu lösen, müssen zunächst die Terme sortiert werden:

    U \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} &= U - U_{\mathrm{C}} \\[6pt] e^{-\frac{t}{\tau}} &= \frac{U - U_{\mathrm{C}}}{U}

    Nun können beide Seiten der Gleichung logarithmiert werden. Man erhält:

    -\frac{t}{\tau} &= \phantom{-}\ln{\left( \frac{U - U_{\mathrm{C}}}{U} \right)} \\[4pt] \Rightarrow t &= - \ln{\left( \frac{U - U_{\mathrm{C}}}{U} \right)} \cdot \tau

    Durch ein Einsetzen der Werte erhält man:

    t(U_{\mathrm{C}} = \unit[3]{V}) &= - \ln{\left( \frac{\unit[(9,0-3,0)]{V}}{\unit[9,0]{V}} \right)} \cdot \unit[10 \cdot 10^{3}]{\Omega} \cdot \unit[470 \cdot 10^{-6}]{F} \approx \unit[1,9]{s} \\[6pt] t(U_{\mathrm{C}} = \unit[6]{V}) &= - \ln{\left( \frac{\unit[(9,0-6,0)]{V}}{\unit[9,0]{V}} \right)} \cdot \unit[10 \cdot 10^{3}]{\Omega} \cdot \unit[470 \cdot 10^{-6}]{F} \approx \unit[5,2]{s} \\[6pt]

    Das negative Vorzeichen hebt sich durch die Multiplikation mit dem Logarithmus auf, da das Argument des Logarithmus kleiner als Eins ist und der Logarithmus somit als Ergebnis einen negativen Wert liefert.

    Die Einheit ergibt sich aus folgender Beziehung:

    \unit{\Omega \cdot F} = \unit{\frac{V}{A} \cdot \frac{Q}{V}} = \unit{\frac{Q}{A}} = \unit{\frac{A \cdot s}{A}} = \unit{s}

    Es dauert also rund \unit[1,9]{s}, bis der Kondensator auf \unit[3]{V} und \unit[5,2]{s}, bis der Kondensator auf \unit[6]{V} geladen ist.

    Man kann nach dieser Rechenmethode somit auch indirekt bestimmen, wie lange der Kondensator für den Ladevorgang von \unit[3]{V} bis \unit[6]{V} benötigt, nämlich \unit[(5,2-1,9)]{s} \approx \unit[3,3]{s}.

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Transformatoren

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Transformatoren.

  • Um die Windungszahl der Sekundärspule zu bestimmen, löst man die Transformator-Gleichung nach n_2 auf:

    \frac{U_1}{U_2} = \frac{n_1}{n_2} \quad \Leftrightarrow \quad n_2 = \frac{n_1 \cdot U_2}{U_1}

    Eingesetzt ergibt sich mit n_1 = 300, U_1 = \unit[230]{V} und U_2 = \unit[100]{V}:

    n_2 = \frac{n_1 \cdot U_2}{U_1} = \frac{300 \cdot \unit[100]{V}}{\unit[230]{V}} \approx 130

    Die Sekundärspule muss somit n_2 = 130 Windungen besitzen.

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  • Die Windungszahlen stehen nach der Transformator-Gleichung \frac{n_1}{n_2} = \frac{U_1}{U_2} im gleichen Verhältnis wie die anliegenden Spannungen. An der Spule mit der höheren Anzahl an Windungen liegt daher auch stets die höhere Spannung, an der Spule mit der geringeren Anzahl an Windungen die niedrigere Spannung an.

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  • Um die Stromstärke in der Sekundärspule zu bestimmen, löst man die Transformator-Gleichung nach I_2 auf:

    \frac{I_1}{I_2} = \frac{n_2}{n_1} \quad \Leftrightarrow \quad I_2 = \frac{n_1 \cdot I_1}{n_2}

    Eingesetzt ergibt sich mit n_1 = 300, n_2 = 1200 und I_1 = \unit[2]{A}:

    I_2 = \frac{n_1 \cdot I_1}{n_2} = \frac{300 \cdot \unit[2]{A}}{1200} = \unit[0,5]{A}

    Die Stromstärke in der Sekundärspule des Transformators beträgt somit I_2 = \unit[0,5]{A}.

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