Mathematik mit Standard-Modulen¶

In jeder Python-Installation ist das Standard-Modul math enthalten. Es enthält zahlreiche Funktionen, die aus dem Python-Interpreter einen umfangreichen und programmierbaren Taschenrechner machen.

Das math-Modul wird meistens in folgender Form eingebunden:

import math as m

Anschließend kann so das math-Modul unter der Bezeichnung m angesprochen werden; dies spart Tipp-Arbeit. Als einzige (verkraftbare) Einschränkung hat dies zur Folge, dass keine andere Variable mit m benannt werden darf.

Das math-Modul enthält unter anderem folgende Funktionen, die jeweils auf einzelne Zahlenwerte angewendet werden können:

`m.pow(zahl,n)`	$n$ -te Potenz einer Zahl (oder $n$ -te Wurzel wenn $0 < n < 1$ )
`m.sqrt(zahl)`	Quadrat-Wurzel einer positiven Zahl
`m.exp(x)`	Exponentialfunktion $e^{x}$ mit Exponent $x$
`m.log(x, a)`	Logarithmusfunktion $\log_{a}{(x)}$ von $x$ zur Basis $a$
`m.radians(winkelwert)`	Winkelumrechnung von Grad auf Radians
`m.degrees(winkelwert)`	Winkelumrechnung von Radians auf Grad
`m.sin(x)`, `m.cos(x)` und `m.tan(x)`	Trigonometrische Funktionen für $x$ -Werte in Radians
`m.asin(x)`, `m.acos(x)` und `m.atan(x)`	Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen (Ergebnisse in Radians)
`math.floor(zahl)`	Nächst kleinerer `int`-Wert $n \le q$ einer Zahl $q$
`math.ceil(zahl)`	Nächst größerer `int`-Wert $n \ge q$ einer Zahl $q$

Zudem sind im math-Modul die Konstanten m.pi und m.e für die Kreiszahl $\pi \approx 3,14$ beziehungsweise die Eulersche Zahl $e \approx 2,71$ vordefiniert.

Neben dem math-Modul existieren weiter für mathematische Zwecke nützliche Module, beispielsweise cmath für das Rechnen mit komplexen Zahlen oder functools für das Anwenden von Operatoren und/oder Funktionen auf eine ganze Liste von Zahlen. Im folgenden werden einige Anwendungsbeispiele vorgestellt, die sich an den Aufgaben zur Arithmetik orientieren.

Primfaktor-Zerlegung

Um die Primfaktoren einer ganzen Zahl $n>0$ zu bestimmen, kann man folgende Funktion nutzen (Quelle: StackOverflow):

def prim(n):
    '''Calculates all prime factors of the given integer.'''

    from math import sqrt

    pfactors = []
    limit = int(sqrt(n)) + 1
    check = 2
    num   = n

    if n == 1:
        return [1]

    for check in range(2, limit):
        while num % check == 0:
            pfactors.append(check)
            num /= check

    if num > 1:
        pfactors.append(num)

    return pfactors

Die Grund-Idee von diesem Algorithmus liegt darin, dass eine Zahl keinen Primzahl-Faktor haben kann, der größer ist als die Quadratwurzel dieser Zahl. Für $n=100$ ist beispielsweise $\sqrt{100} = 10$ der größtmögliche Faktor, der eine Primzahl sein könnte.

Andere Produkte mit größeren Faktoren $100 = 50 \cdot 2$ lassen sich zwar ebenfalls bilden, enthalten dann allerdings stets einen Faktor, der kleiner als die Quadrat-Wurzel der Original-Zahl ist.
Die einzelnen möglichen Primfaktoren lassen sich finden, indem man nacheinander die Faktoren $2,\,3\, \ldots$ in aufsteigender Reihenfolge durchprobiert. Um eine mögliche Mehrfachheit einzelner Faktoren nicht außer Acht zu lassen, muss bei jedem gefundenen Faktor geprüft werden, ob sich die Original-Zahl gegebenenfalls auch mehrfach durch diesen dividieren lässt.
Ist ein Faktor gefunden, so kann man die Original-Zahl durch diesen dividieren und den Algorithmus erneut mit dem resultierenden Divisions-Rest fortsetzen.

Die gefundenen Faktoren sind tatsächlich allesamt Primzahlen: Jeder andere Faktor ließe sich selbst als Produkt jeweils kleinerer Primzahlen darstellen. Die Teilbarkeit durch diese Zahlen wurde im Lauf des Algorithmus allerdings bereits geprüft; der jeweilige Divisionsrest, mit dem der Algorithmus fortfährt, enthält diese Faktoren nicht mehr.

Mittels der obigen Funktion kann nun die Primzahl einer Zahl oder eines Zahlenbereichs folgendermaßen berechnet werden:

# Einzelne Zahl in Primfaktoren zerlegen:
prim(2017)

# Zahlenbereich in Primfaktoren zerlegen:
for n in range(1,1000):
        print(prim(n))

Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches

Beim Rechnen mit rationalen Zahlen, insbesondere beim Kürzen eines Bruchterms oder beim Multiplizieren zweier Brüche, ist es nützlich, den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu finden. Hierzu wird bis heute ein Algorithmus verwendet, den bereits Euklid in der Antike entdeckt hat:

Hat man zwei Zahlen $a$ und $b$ mit $a>b$ , so ist der größte gemeinsame Teiler von $a$ und $b$ identisch mit dem größten gemeinsamen Teiler von $(a-b)$ und $b$ . Man kann also wiederholt immer wieder die kleinere Zahl von der größeren abziehen und das Prinzip erneut anwenden, solange bis man beim größten gemeinsamen Teiler angekommen ist.

Ist beispielsweise $a=72$ und $b=45$ , so ist der größte gemeinsame Teiler dieser beider Zahlen identisch mit dem der Zahlen $45$ und $(72-45) = 27$ . erneut kann man die Differenz beider Zahlen bilden und erhält damit das Zahlenpaar $27$ und $(45-27)=18$ ; ein wiederholtes Anwenden des gleichen Prinzips liefert das zunächst das Zahlenpaar $18$ und $(27-18) = 9$ und schließlich $9$ und $9$ ; der größte gemeinsame Teiler beider Zahlen ist somit $9$ .
Ist die eine Zahl $a$ wesentlich größer als die andere Zahl $b$ , so müsste bei Anwendung des vorherigen Algorithmus sehr oft $b$ von $a$ subtrahiert werden. Ist beispielsweise $a=968$ und $b=24$ , so ergäbe die erste Differenz $(968-24)=944$ , die zweite Differenz $(944-24)=920$ , usw. Bei Verwendung eines Computers ist es effektiver, anstelle der wiederholten Subtraktion eine Modulo-Rechnung vorzunehmen, also bei einer Division mit Rest nur auf den Divisionsrest zu achten. Hier ergibt $968 \text{ mod } 24$ den Wert $18$ ; der Algorithmus kann somit unmittelbar mit $24 \text{ mod 18} = 6$ fortgeführt werden und liefert schon im dritten Schritt als Ergebnis $18 \text{ mod } 6 = 0$ . Der größte gemeinsame Teiler $(6)$ wurde so in nur drei Rechenschritten bestimmt.

In Python lässt sich diese zweite, schnellere Variante des Euklidschen Algorithmus dank des Modulo-Operators % mit nur sehr wenig Code implementieren.

def gcd_simple(a, b):
    '''Quite simple implementation of Euclid's Algorithm.'''
    while b != 0:
        tmp = a % b
        a = b
        b = tmp
    return a

Dieser Code lässt sich noch weiter optimieren. Der Trick der folgenden Implementierung besteht darin, dass der Zuweisungsoperator = eine geringere Priorität besitzt als der Modulo-Operator, und somit erst die rechte Seite ausgewertet wird, bevor die Ergebnisse in die links angegebenen Variablen gespeichert werden; dies erspart das Speichern der Zwischenergebnisse in temporären Variablen:

def gcd(a, b):
    '''Return the greatest common divisor using Euclid's Algorithm.'''
    while b:
        a, b = b, a % b
    return a

Hat man den größten gemeinsamen Teiler gefunden, so kann auch das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen einfach berechnet werden: Man multipliziert beide Zahlen miteinander und dividiert das Ergebnis anschließend durch den größten gemeinsamen Teiler. In Python könnte die entsprechende Funktion also folgendermaßen aussehen:

def lcm(a, b):
    '''Return lowest common multiple.'''
    return a * b / gcd(a, b)

Möchte man das kleinste gemeinsame Vielfache nicht nur zweier, sondern einer Liste mit beliebig vielen ganzen Zahlen ermitteln, so müsste man die obige lcm()-Funktion iterativ auf die einzelnen Elemente der Liste anwenden. Nutzt man hierfür die Funktion reduce() aus dem Standard-Modul functools, so lässt sich der Algorithmus folgendermaßen implementieren (Quelle: Stackoverflow):

import functools as ft

def lcmm(*args):
    '''turn lcm of args.'''
    return ft.reduce(lcm, args)


# Beispiel:

lcmm(6, 13, 27, 84)
# Ergebnis: 9828

… to be continued …

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