Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit

Im folgenden Abschnitt werden zunächst anhand von eindimensionalen Bewegungen einige grundlegende Konzepte zur mathematischen Beschreibung von Bewegungsvorgängen vorgestellt; diese werden dann auf zwei- beziehungsweise dreidimensionale Vorgänge übertragen.

Eindimensionale Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit

Eine geradlinige Bewegung stellt die einfachste Variante eines Bewegungsvorgangs dar: Es genügt bereits eine einzelne Raumachse als Koordinatensystem. Hat man (willkürlich, aber verbindlich) den Nullpunkt sowie die Richtung der Koordinatenachse einmalig festgelegt, so genügt folglich eine einzige Längenangabe s, um den Ort des Objekts bezüglich des Koordinatenursprungs exakt angeben zu können:

  • Hat der Ort s einen positiven Wert, so befindet sich das Objekt um den entsprechenden Wert entlang der als positiv gewählten Raumrichtung vom Koordinatenursprung entfernt.
  • Hat der Ort s einen negativen Wert, so befindet sich das Objekt um den entsprechenden Wert entgegen der als positiv gewählten Raumrichtung vom Koordinatenursprung entfernt.

Bei Bewegungsvorgängen ändert sich der Ort s des Objekts im zeitlichen Verlauf; man schreibt daher häufig auch explizit s(t), um die Abhängigkeit des Orts s von der Zeit t auszudrücken.

fig-geradlinige-bewegung

Die Bewegung eines Hundes, der einem Stöckchen nacheilt oder es zurückbringt, kann in guter Näherung als geradlinige Bewegung aufgefasst werden.

Die \Delta-Schreibweise

Das Symbol s wird nicht nur für Ortsangaben verwendet, sondern ebenfalls um zurückgelegte Wegstrecken anzugeben. In diesem Fall wählt man allerdings bevorzugt die Schreibweise \Delta s, um Verwechslungen zu vermeiden. Das \Delta-Symbol (ein griechisches “Delta”) steht dabei für “Differenz” – gemeint ist damit, inwiefern sich der Wert von s_{\mathrm{end}} am Ende des Bewegungsvorgangs von dem Wert s_{\mathrm{start}} zu Beginn des Bewegungsvorgangs unterscheidet:

\Delta s &= s_{\mathrm{end}} - s_{\mathrm{start}} \\
 &= \;s \;\;\; - \;\, s_0

Dass bei dieser Konvention der Startwert (meist mit s_0 bezeichnet) vom Endwert (meist mit s bezeichnet) abgezogen wird, hat folgenden Grund:

  • Ist der Anfangswert s_0 kleiner als der Endwert s, so verläuft die Bewegung entlang der als positiv definierten Bewegungsrichtung.
  • Ist umgekehrt der Endwert s kleiner als der Anfangswert s_0, so verläuft die Bewegung in Richtung der negativen Koordinatenachse.

Gilt für den Startwert s_0 = 0, so beginnt die Bewegung am Nullpunkt des Koordinatensystems, und für den Zeitpunkt t gilt \Delta s = s
-s_0 = s. In diesem Fall stimmt somit zu einem Zeitpunkt t der Ort s(t) mit der zurückgelegten Wegstrecke \Delta s überein, und das \Delta kann weggelassen werden; im Allgemeinen ist dies jedoch nicht der Fall.

Die gleiche \Delta-Schreibweise wird auch für einzelne Zeitabschnitte verwendet; auch hier gilt beispielsweise \Delta t = t_{\mathrm{end}} -
t_{\mathrm{start}}. Diese Schreibweise hat den Vorteil, dass man einen Vorgang in verschiedenen Zeitabschnitten \Delta t_1 = t_1 - t_0, \Delta
t_2 = t_2 - t_1, usw. unterteilen kann, sofern in diesen beispielsweise unterschiedliche Geschwindigkeiten oder Bewegungsrichtungen vorliegen; eine komplexe Aufgabenstellung kann so in mehrere einfacher zu lösende Teile zerlegt werden.

Definition von Geschwindigkeit

Bewegt sich ein Objekt mit konstanter Geschwindigkeit, so legt es in gleichen Zeitabschnitten die jeweils gleiche Wegstrecke zurück.

Definition:

Die Geschwindigkeit v eines sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegenden Objekts ist gleich dem Verhältnis aus der zurückgelegten Wegstrecke \Delta s und der dazu benötigten Zeit \Delta t:

(1)v = \frac{\Delta s}{\Delta t}

Einheit:

Die Geschwindigkeit wird meist in Kilometer je Stunde (\unitfrac{km}{h}) oder in Meter je Sekunde (\unitfrac{m}{s}) angegeben.

Beispiele:

  • Licht legt in einer Sekunde \unit[300\,000]{km} zurück. Die Lichtgeschwindigkeit beträgt somit \unitfrac[300\,000\,000]{m}{s}.
  • Eine Schnecke legt in einer Sekunde etwa \unit[0,8]{mm} zurück. “Schneckentempo” entspricht somit ungefähr \unitfrac[0,0008]{m}{s}.

Umrechnung von km/h in m/s

Sowohl \unitfrac{km}{h} als auch \unitfrac{m}{s} sind als Geschwindigkeits-Einheiten üblich. Um sie ineinander umzurechnen, kann man folgende Zusammenhänge nutzen:

\unit[1]{km} &= \unit[1000]{m} \\
\unit[1]{h} = \unit[60]{min} &= \unit[60 \cdot 60]{s} = \unit[3600]{s}

Daraus folgt:

\unit[1]{\frac{km}{h}} = \frac{\unit[1]{km}}{\unit[1]{h}} =
\frac{\unit[1000]{m}}{\unit[3600]{s}} = \unit[\frac{1000}{3600}
]{\frac{m}{s} } = \unit[\frac{1}{3,6} ]{\frac{m}{s} }

und umgekehrt:

(2)\unit[1]{\frac{m}{s} } = \unit[3,6]{\frac{km}{h} }

Ein Spaziergänger beispielsweise, der sich mit knapp \unitfrac[5]{km}{h} bewegt, legt also in einer Sekunde etwas mehr als einen Meter zurück.

Ort und zurückgelegte Wegstrecke

Der zeitliche Verlauf der Geschwindigkeit kann allgemein in Form eines v(t)-Diagramms darstellt werden. Hierbei wird der Betrag der Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit wie der Graph einer mathematischen Funktion in ein zweidimensionales Koordinatensystem eingezeichnet.

fig-v-t-diagramm-konstante-geschwindigkeit

v(t)-Diagramme einer konstanten Geschwindigkeit. Der Wert der Geschwindigkeit kann größer, gleich oder kleiner Null sein.

Im Fall einer zeitlich konstanten Geschwindigkeit entspricht der Graph der Geschwindigkeit einer waagrechten Geraden. Der Wert der v(t)-Geraden hat folgende Bedeutung:

  • Umso größer der Wert der Geschwindigkeit ist, desto weiter ist die v(t)-Gerade von der horizontalen t-Achse (entspricht dem Wert v=0) entfernt.
  • “Ruhe” ist der Spezialfall einer Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit, für den gerade v = 0 gilt.
  • Bewegt sich ein Objekt in die entgegengesetzt zur ursprünglich als “positiv” festgelegten Richtung, so erhält seine Geschwindigkeit ein negatives Vorzeichen.

Kennt man die (konstante) Geschwindigkeit v eines Objekts und weiß, wie lange es mit dieser Geschwindigkeit unterwegs ist, so kennt man allerdings noch nicht den genauen Ort, an dem sich das Objekt zur Zeit t befindet. Man weiß nämlich nicht, von welchem Startpunkt aus die Bewegung begonnen hat. Um den Ort s(t) des Objekts in Abhängigkeit von der Zeit angeben zu können, muss also die Startposition s_0 mit berücksichtigt werden:

s(t) = v_0 \cdot \Delta t + s_0

Der zeitliche Verlauf der zurückgelegten Wegstrecke kann ebenfalls graphisch in Form eines so genannten Weg-Zeit-Diagramms (“s(t)-Diagramm”) dargestellt werden. Aus Gleichung (1) folgt, dass sich die Wegstrecke \Delta s bei konstanter Geschwindigkeit v in gleichen Zeitabschnitten \Delta t kontinuierlich um \Delta s = v \cdot
\Delta t ändert – die entsprechende Weg-Zeit-Linie entspricht also einer Geraden.

fig-s-t-diagramm-konstante-geschwindigkeit

s(t)-Diagramme einer konstanten Geschwindigkeit. Die Steigung der Weg-Zeit-Geraden kann größer, gleich oder kleiner Null sein.

Die Steigung der Geraden in einem s(t)-Diagramm hat folgende Bedeutung:

  • Umso größer die (konstante) Geschwindigkeit ist, desto steiler ist der Verlauf der Geraden im s(t)-Diagramm.
  • Ist die Geschwindigkeit eines Objekts konstant gleich Null, so bleibt seine Entfernung vom Beobachter unverändert – egal, ob sich das beobachtete Objekt an der Position des Beobachters oder in einer Entfernung s_0 vom Beobachter entfernt liegt. In beiden Fällen entspricht zeitliche Verlauf des zurückgelegten Weges einer waagrechten Geraden.
  • Das Vorzeichen der Geschwindigkeit gibt an, ob die Gerade im s(t)-Diagramm steigt oder fällt. Eine negative Steigung bedeutet hierbei, dass sich das beobachtete Objekt entgegen der ursprünglich als “positiv” festgelegten Raumrichtung bewegt – egal, ob die Bewegung vom Beobachter oder von einer um die Strecke s_0 entfernten Stelle aus beginnt.

Der Wert, den die Ortsfunktion s(t) = v \cdot t zu einer bestimmten Zeit t annimmt, entspricht jeweils der Fläche zwischen der entsprechen Geschwindigkeits-Zeit-Linie und der t-Achse im v(t)-Diagramm; gegebenenfalls muss das Vorzeichen berücksichtigt werden und die anfängliche Entfernung s_0 zum Ergebnis hinzu addiert werden.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit

Auch wenn sich die Geschwindigkeit mit der Zeit beziehungsweise entlang einer Wegstrecke mehrfach ändert, so kann man trotzdem für den gesamten Bewegungsvorgang eine durchschnittliche Geschwindigkeit angeben.

Definition:

Die Durchschnittsgeschwindigkeit \bar{v} eines Objekts ist gleich dem Verhältnis aus der Wegstrecke \Delta s_{\mathrm{ges}}, die er insgesamt zurücklegt, und der dazu benötigten Zeit \Delta
t_{\mathrm{ges}}:

(3)\bar{v} = \frac{\Delta s_{\mathrm{ges}}}{\Delta t_{\mathrm{ges}}}

Beispiel:

  • Ein Radrennfahrer legt eine Etappe von \unit[130]{km} in einer Zeit von \unit[4,0]{h} zurück. Seine Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt somit:

\bar{v} = \frac{\Delta s_{\mathrm{ges}}}{\Delta t_{\mathrm{ges}}} =
\frac{\unit[130]{km}}{\unit[4]{h}} = \unit[32,5]{\frac{km}{h}}

Man sieht, dass auch bei diesem Vorgang das Modell der geradlinigen Bewegung verwendet werden kann, auch wenn sich der Radfahrer sehr wahrscheinlich nicht geradlinig fortbewegt. Bei vielerlei Fragestellungen ist allerdings nicht der konkrete Streckenverlauf von Bedeutung, sondern nur die Länge der Strecke. Kennt man zusätzlich die durchschnittliche Geschwindigkeit, so weiß man, wie lange der Bewegungsvorgang dauern wird; derartige Abschätzungen sind beispielsweise bei Wanderungen oder Fahrrad-Touren durchaus hilfreich.

Die Relativgeschwindigkeit

Bewegen sich zwei Objekte von einem gleichen Ausgangspunkt aus mit verschiedenen Geschwindigkeiten v_1 und v_2 in die gleiche Richtung, so entspricht ihre gegenseitige Entfernung der Differenz der zurückgelegten Wegstrecken; die Objekte entfernen sich also mit zunehmender Zeit voneinander. Die wachsende Entfernung kann durch die so genannte Relativgeschwindigkeit v_{\mathrm{rel}} ausgedrückt werden:

(4)v_{\mathrm{rel}} = v_2 - v_1

Diese Gleichung gibt die Relativgeschwindigkeit des zweiten Objekts relativ zum ersten Objekt an; umgekehrt gibt v_1 - v_2 die Geschwindigkeit des ersten Objekts relativ zum zweiten an. Beide Relativgeschwindigkeiten haben den gleichen Betrag, ein unterschiedliches Vorzeichen, da sie in ihren Richtungen entgegengesetzt sind.

Das Rechnen mit Relativgeschwindigkeiten ist beispielsweise hilfreich, um die für Überholvorgänge mit konstanten Geschwindigkeiten notwendigen Zeiten beziehungsweise Wegstrecken zu berechnen. Zudem können, wie im folgenden Abschnitt gezeigt wird, mittels Relativgeschwindigkeiten auch Entfernungen zwischen Objekten berechnet werden, die sich mit konstanten Geschwindkeiten in unterschiedlichen Raumrichtungen bewegen.

Mehrdimensionale Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit

Die im letzten Abschnitt vorgestellten Gesetzmäßigkeiten für eindimensionale Bewegungen lassen sich auch ohne großen Aufwand auf zweidimensionale Bewegungen übertragen. Ein Grundprinzip hierbei ist, dass jeder zweidimensionale Bewegungsvorgang in eine x- und eine y-Komponente aufgeteilt werden kann. Die Ausrichtung des Koordinatensystems kann wiederum einmalig frei gewählt werden kann, ist für den Rest der Rechnung dann allerdings verbindlich.

Ein zweites Grundprinzip ist, dass einzelne Bewegungsvorgänge, auch wenn sie entlang unterschiedlicher Raumrichtungen stattfinden, jeweils getrennt voneinander betrachtet werden können.

Addition von Teilgeschwindigkeiten

Verlaufen zwei Bewegungen geradlinig entlang einer gemeinsamen Linie, so genügt eine einfache Addition der beiden Geschwindigkeitsbeträge v_1 und v_2, um die resultierende Geschwindigkeit zu erhalten.

Beispiele:

  • Eine Person bewegt sich mit einer Geschwindigkeit v_1 auf einem Laufband entgegen der Laufbandgeschwindigkeit v_2. Sind beide Geschwindigkeiten gleich groß, so bleibt die Person an der gleichen Stelle – die resultierende Geschwindigkeit v ist gleich Null.

    Sind beide Geschwindigkeiten unterschiedlich groß, so bewegt sich die Person in Richtung der größeren Geschwindigkeit.[1]

  • Stimmt die Bewegungsrichtung der Person mit der Richtung der Laufbandgeschwindigkeit überein, so addieren sich die Beträge beider Geschwindigkeiten. Die Geschwindigkeit v der Person (relativ zum Erdboden) ist somit gleich v_1 + v_2.

Die Addition der auftretenden Geschwindigkeiten ist auch möglich, wenn diese in einem beliebigen Winkel zueinander stehen. Zeichnerisch stellt man dazu die beiden Geschwindigkeiten \vec{v}_1 und \vec{v}_2 als Pfeile dar, deren Richtungen mit denen der beiden Geschwindigkeiten übereinstimmen und deren Längen die Beträge beider Geschwindigkeiten abbilden. Nach den Regeln der Vektor-Addition lässt sich damit aus beiden Geschwindigkeits-Pfeilen die Richtung und der Betrag der resultierenden Geschwindigkeit \vec{v} graphisch ermitteln.

Betrag und Richtung der resultierenden Geschwindigkeit \vec{v} können auch rechnerisch bestimmt werden. Für eine zweidimensionale Bewegung (in einer Ebene) gilt:

\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2 = \begin{pmatrix}
v_{\mathrm{1x}} \\
v_{\mathrm{1y}}
\end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
v_{\mathrm{2x}} \\
v_{\mathrm{2y}}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
v_{\mathrm{1x}} + v_{\mathrm{2x}} \\
v_{\mathrm{1y}} + v_{\mathrm{2y}}
\end{pmatrix}

Die resultierende Geschwindigkeit \vec{v} entspricht somit einer komponentenweisen Addition der beiden Geschwindigkeits-Vektoren \vec{v}_{1} und \vec{v}_{2}. Für den Betrag der resultierenden Geschwindigkeit v = | \, \vec{v} \, | gilt:

v = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}

Aus dem Verhältnis der y- zur x-Komponente lässt sich der Winkel der resultierenden Geschwindigkeit bestimmen:

\tan{\varphi } = \frac{v_{\mathrm{y}}}{v_{\mathrm{x}}} \quad \Longleftrightarrow
\quad \varphi = \tan ^{-1}{\left(\frac{v_{\mathrm{y}}}{v_{\mathrm{x}}}\right)}

Beispiel:

  • Ein Boot überquert mit einer Geschwindigkeit v_1 =
\unit[3]{\frac{m}{s}} senkrecht einen Fluss, der mit einer Geschwindigkeit v_2 = \unit[1]{\frac{m}{s}} strömt. Legt man ein Koordinatensystem so an, dass die y-Achse in Richtung der Geschwindigkeit des Bootes und die x-Achse in Richtung der Flussströmung zeigt, so folgt für die resultierende Geschwindigkeit \vec{v}:

    \vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2 = \begin{pmatrix}
0 \\ 3
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 \\ 3
\end{pmatrix}

    Der Betrag der resultierenden Geschwindigkeit ist hierbei:

    v = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} = \sqrt{\left(\unit[1]{\frac{m}{s}}\right)^2 +
\left( \unit[3]{\frac{m}{s}}\right)^2} = \sqrt{\unit[10]{\frac{m^2}{s^2}}}
\approx \unit[3,16]{\frac{m}{s}}

    Der Winkel gegenüber der x-Achse (Richtung des Flusses) beträgt:

    \alpha = \tan^{-1}{\left(\frac{v_{\mathrm{y}}}{v_{\mathrm{x}}}\right)} = \tan
^{-1}{\left( \frac{3}{1} \right)} \approx 71,6 \degree

    Das Boot driftet somit um einem Winkel von rund 90\degree - 71,6\degree
= 18,40\degree ab.

Die in die jeweiligen Richtungen zurückgelegten Wegstrecken \Delta
s_{\mathrm{x}} und \Delta s_{\mathrm{y}} lassen sich wiederum komponentenweise über die Formel \Delta s = v \cdot \Delta t berechnen.

Eine weitere Verallgemeinerung auf dreidimensionale Bewegungsvorgänge erfolgt nach den gleichen Prinzipien, indem man zusätzlich eine z-Komponente betrachtet und folglich mit drei- anstelle mit zweidimensionalen Vektoren rechnet.


Anmerkungen:

[1]

Definiert man die Bewegungsrichtung der Person (nach rechts) als positiv, so kann der Betrag der resultierenden Geschwindigkeit als Differenz beider Geschwindigkeiten v_1 - v_2 berechnet werden. Gilt v_2 >
v_1, so ist die resultierende Geschwindigkeit “negativ”, sie verläuft somit von rechts nach links.

Schreibt man die Differenz v_1 - v_2 als Summe v_1 +
(-v_2), so zeigt sich, dass auch in diesem Fall – unter Berücksichtigung der Bewegungsrichtungen – die resultierende Geschwindigkeit gleich der Summe der Einzelgeschwindigkeiten ist.


Hinweis

Zu diesem Abschnitt gibt es Übungsaufgaben.