Der Doppler-Effekt

Bewegen sich eine Schallquelle und/oder ein Schallempfänger aufeinander zu, so tritt der nach Christian Doppler benannte Doppler-Effekt auf. Aus dem Alltag kennt man zum Beispiel die Erfahrung, dass ein sich näherndes Fahrzeug Töne mit zunehmender Frequenz von sich gibt, während die Töne eines sich entfernenden Fahrzeugs zunehmend tiefer werden.

fig-doppler-effekt

Doppler-Effekt: Schallausbreitung einer sich bewegenden Schallquelle

Wie man in der obigen Abbildung erkennen kann, werden die Abstände zwischen den einzelnen ankommenden Schallwellen und somit die Wellenlängen \lambda kürzer, wenn sich die Schallquelle auf den Beobachter zubewegt (der Beobachter sich also am rechten Bildrand befindet). Umgekehrt erscheinen die Wellenlängen als kürzer, wenn sich die Schallquelle vom Beobachter wegbewegt (der Beobachter sich also am linken Bildrand befindet).

Bewegte Schallquelle, ruhender Beobachter

Da die Schallgeschwindigkeit v_{\mathrm{Schall}} während des Vorgangs konstant bleibt, muss sich gemäß der Wellenformel mit einer Änderung der Wellenlänge \lambda auch die Schallfrequenz f ändern:

v_{\mathrm{Schall}} = \lambda \cdot f \quad \Longleftrightarrow \quad f =
\frac{v_{\mathrm{Schall}}}{\lambda}

Nimmt der Beobachter bei einer sich nähernden Schallquelle eine verringerte Wellenlänge \lambda wahr, so muss sich folglich die wahrgenommene Frequenz f vergrößern. Quantitativ kann dieser Zusammenhang folgendermaßen beschrieben werden:

\lambda_{\mathrm{Beobachter}} &= \lambda_{\mathrm{Sender}} + \Delta \lambda \\
\lambda_{\mathrm{Beobachter}} &= \lambda_{\mathrm{Sender}} - \frac{v_{\mathrm{Sender}}}{f_{\mathrm{Sender}}}

Möchte man den Einfluss auf die vom Beobachter empfangene Schallfrequenz bestimmen, so muss auch \lambda_{\mathrm{Beobachter}} =
\frac{v_{\mathrm{Schall}}}{f_{\mathrm{Beobachter}}} und \lambda
_{\mathrm{Sender}} = \frac{v_{\mathrm{Schall}}}{f_{\mathrm{Sender}}} gesetzt werden:

(1)\frac{v_{\mathrm{Schall}}}{f_{\mathrm{Beobachter}}} &=
\frac{v_{\mathrm{Schall}}}{f_{\mathrm{Sender}}} - \frac{v
_{\mathrm{Sender}}}{f_{\mathrm{Sender}}}

Diese Gleichung kann nach f_{\mathrm{Beobachter}} aufgelöst werden:

(2)\frac{v_{\mathrm{Schall}}}{f_{\mathrm{Beobachter}}} &=
\frac{1}{f_{\mathrm{Sender}}} \cdot (v_{\mathrm{Schall}} -
v_{\mathrm{Sender}}) \\[8pt]
f_{\mathrm{Beobachter}} &= \frac{v_{\mathrm{Schall}}}{v_{\mathrm{Schall}} - v
_{\mathrm{Sender}}} \cdot f_{\mathrm{Sender}}

Das Minus-Zeichen in der obigen Gleichung gilt für eine sich nähernde Schallquelle; entfernt sich die Schallquelle vom Beobachter, so gilt die obige ebenfalls, wenn das Minus-Zeichen durch ein Plus-Zeichen ersetzt wird.

Beispiel:

  • Welche Frequenz wird von einem Beobachter wahrgenommen, wenn sich eine Schallquelle, die eine Frequenz von f_{\mathrm{Sender}}=\unit[440]{Hz} aussendet, mit einer Geschwindigkeit von v_{\mathrm{Sender}} =
\unit[10]{\frac{m}{s}} auf den Beobachter zu- beziehungsweise wegbewegt?

    Im ersteren Fall gilt nach Gleichung (2) mit v_{\mathrm{Schall}} \approx \unit[340]{\frac{m}{s}}:

    f_{\mathrm{Beobachter}} &= \frac{v_{\mathrm{Schall}}}{v_{\mathrm{Schall}}
- v_{\mathrm{Sender}}} \cdot f_{\mathrm{Sender}} =
  \frac{\unit[340]{\frac{m}{s}}}{\unit[(340-10)]{\frac{m}{s}}} \cdot
  \unit[440]{Hz} \approx \unit[453,3]{Hz}

    Im zweiteren Fall muss das Minux-Zeichen der oberen Gleichung durch ein Plus-Zeichen ersetzt werden. Damit ergibt sich:

    f_{\mathrm{Beobachter}} &= \frac{v_{\mathrm{Schall}}}{v_{\mathrm{Schall}}
+ v_{\mathrm{Sender}}} \cdot f_{\mathrm{Sender}} =
  \frac{\unit[340]{\frac{m}{s}}}{\unit[(340+10)]{\frac{m}{s}}} \cdot
  \unit[440]{Hz} \approx \unit[427,4]{Hz}

    Rotiert ein Lautsprecher wie beispielsweise im Leslie einer Hammond-Orgel kontinuierlich, so wird dadurch ebenfalls eine Frequenz-Schwingung um den eigentlich gespielten Ton hervorgerufen.

Bewegte Schallquelle und bewegter Beobachter

Bewegt sich nicht nur die Schallquelle mit einer Geschwindigkeit v
_{\mathrm{Sender}}, sondern gleichzeitig auch der Beobachter mit der Geschwindigkeit v_{\mathrm{Beobachter}}, so muss auch diese Bewegung nach dem gleichen Prinzip in Gleichung (1) berücksichtigt werden.

Bewegt sich der Beobachter auf die ihrerseits näher kommende Schallquelle zu, so gilt:

\frac{v_{\mathrm{Schall}}}{f_{\mathrm{Beobachter}}} &=
\frac{v_{\mathrm{Schall}}}{f_{\mathrm{Sender}}} - \frac{v
_{\mathrm{Sender}}}{f_{\mathrm{Sender}}} - \frac{v
_{\mathrm{Beobachter}}}{f_{\mathrm{Beobachter}}}

Diese Gleichung kann wiederum nach f_{\mathrm{Beobachter}} aufgelöst werden:

\frac{v_{\mathrm{Schall}}}{f_{\mathrm{Beobachter}}}  + \frac{v
_{\mathrm{Beobachter}}}{f_{\mathrm{Beobachter}}} &=
\frac{v_{\mathrm{Schall}}}{f_{\mathrm{Sender}}} - \frac{v
_{\mathrm{Sender}}}{f_{\mathrm{Sender}}} \\[8pt]
\frac{1}{f_{\mathrm{Beobachter}}} \cdot (v_{\mathrm{Schall}} + v
_{\mathrm{Beobachter}}) &= \frac{1}{f_{\mathrm{Sender}}} \cdot
(v_{\mathrm{Schall}} - v_{\mathrm{Sender}}) \\[8pt]

Damit ergibt sich folgende allgemeinere Formel für den Doppler-Effekt:

(3)f_{\mathrm{Beobachter}} &= \frac{v_{\mathrm{Schall}} + v
_{\mathrm{Beobachter}}}{v_{\mathrm{Schall}} -
v_{\mathrm{Sender\phantom{acht}}}} \cdot f_{\mathrm{Sender}}

Die Vorzeichen in der obigen Formel gelten für sich aufeinander zu bewegende Schallquellen und Beobachter. Bewegt sich der Beobachter von der ursprünglichen Position der Schallquelle weg, so muss im Zähler ein Minus-Zeichen gesetzt werden; entfernt sich die Schallquelle vom ursprünglichen Ort des Beobachters, so muss im Zähler ein Plus-Zeichen gesetzt werden.

Schallmauer und Mach-Kegel

Mit einer zunehmenden Relativ-Geschwindigkeit der Schallquelle gegenüber dem Beobachter wird auch der Doppler-Effekt immer ausgeprägter. Eine Besonderheit ergibt sich, wenn sich die Geschwindigkeit der Schallquelle v_{\mathrm{Sender}} der Schallgeschwindigkeit v_{\mathrm{Schall}} annähert.

fig-mach-kegel

Doppler-Effekt und Mach-Kegel: Schallausbreitung mit v_{\mathrm{Sender}} < v_{\mathrm{Schall}} beziehungsweise v_{\mathrm{Sender}} > v_{\mathrm{Schall}}.

Erreicht die Schallquelle die Geschwindigkeit v_{\mathrm{Sender}} =
v_{\mathrm{Schall}}, so überlagern sich die von der Schallquelle ausgesendeten Schallwellen konstruktiv mit jenen, die sie bereits vorher ausgesendet hatte. Für die Schallquelle bedeutet dies einen erheblichen “Wellenberg” (ein ein Maximum an Luftdruck), der zum weiteren Beschleunigen überwunden werden muss; Überschall-Flugzeuge müssen also beim “Durchbrechen der Schallmauer” erhebliche mechanische Belastungen aushalten; mit Überschallgeschwindigkeit nimmt der Luftwiderstand zunächst wieder ab.[1]

Für Beobachter auf dem Boden ist die Situation eine andere: Sie hören einen heftigen Knall, wenn sie vom nach Ernst Mach benannten “Mach-Kegel” gestreift werden. Dieser Kegel entspricht der einhüllenden Kurve der (rechts in Abbildung Doppler-Effekt und Mach-Kegel gestrichelt dargestellt) kugelförmigen Schallwellen.[2] Der Knall ist also nicht nur in dem Moment beziehungsweise in der Nähe der Stelle hörbar, wenn das Flugzeug die Schallmauer durchbricht, sondern während der gesamten Dauer des Überschall-Fluges an jeder Stelle, die vom Mach-Kegel gestreift wird.


Anmerkungen:

[1]Wird eine Geschwindigkeit v als Vielfaches der Schallgeschwindigkeit ausgedrückt, so bezeichnet man den sich ergebenden Wert als “Mach-Zahl”. Eine Geschwindigkeit von v=\unit[1]{Mach} ist also mit der Schallgeschwindigkeit v_{\mathrm{Schall}} \approx
\unit[340]{\frac{m}{s}} identisch.
[2]Boote, die sich schnell über das Wasser bewegen, ziehen ebenfalls einen “flachen Kegel” an Wellen hinter sich her. Einen Mach-Kegel kann man sich ähnlich vorstellen, nur eben dreidimensional. Je höher die Geschwindigkeit des Bootes beziehungsweise Überschallflugzeugs ist, desto “schmaler” und “länger” wird der Kegel.