.. _Lösungen Körpereigenschaften: Körpereigenschaften =================== .. _Lösungen Volumen: Volumen ------- Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Volumen `. ---- .. _kvo01l: * Wird die Farbe gleichmäßig aufgetragen, so gilt für das zum Anstreichen einer Fläche :math:`A` mit einer Schichtdicke :math:`h` benötigte Farbvolumen: .. math:: V = A \cdot h Umgekehrt kann aus dieser Formel die Dicke :math:`h` der Farbschicht berechnet werden, wenn das Volumen :math:`V` und die Fläche :math:`A` bekannt sind. Dazu muss nur berücksichtigt werden, dass ein Liter einem Kubik-Dezimeter entspricht: .. math:: \unit[1]{l} \equiv \unit[1]{dm^3} = \unit[\frac{1}{1000} ]{m^3} Somit gilt: .. math:: h = \frac{V}{A} = \frac{\unit[\frac{1}{1000} ]{m^3}}{\unit[6]{m^2}} \approx \unit[0,00017]{m} = \unit[0,17]{mm} Bei der Etikettenangabe wird somit davon ausgegangen, dass die Farbe mit einer Schichtdicke von knapp :math:`\unit[0,2]{mm}` aufgetragen wird. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _kvo02l: * Die Fläche :math:`A` der (rechteckigen) Blechtafel ist gleich dem Produkt aus ihrer Länge :math:`l` und Breite :math:`b`: .. math:: A = l \cdot b = \unit[1,50]{m} \cdot \unit[1,20]{m} = \unit[1,80]{m^2} Das Volumen :math:`V` der nötigen Lackschicht kann damit als Produkt der Fläche :math:`A` und der (gleichmäßigen) Schichtdicke :math:`h = \unit[0,1]{mm} = \unit[0,000\,1]{m}` berechnet werden: .. math:: V = A \cdot h = \unit[1,8]{m^2} \cdot \unit[0,000\,1]{m} = \unit[0,000\,18]{m^3} = \unit[0,18]{dm^3} Zum Streichen der Fläche mit der angegebenen Schichtdicke sind somit je Fläche rund :math:`\unit[0,2]{dm^3} = \unit[0,2]{l}` nötig; für beide Seiten sind entsprechend :math:`\unit[0,4]{l}` Lack notwendig. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _Lösungen Dichte: Dichte ------ Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Dichte `. ---- .. _kdi01l: * In Kork und Styropor ist verhältnismäßig viel Luft eingelagert. Körper aus Kork oder Styropor nehmen daher bei einer bestimmten Masse :math:`m` ein großes Volumen :math:`V` ein. Die Dichte :math:`\rho = \frac{m}{V}` ist somit gering. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _kdi02l: * Die Formel für die Dichte :math:`\rho` eines Körpers lautet :math:`\rho =\frac{m}{V}`. Die Masse :math:`m` und das Volumen :math:`V` des Würfels sind bekannt. Eingesetzt ergibt sich: .. math:: \rho = \frac{m}{V} = \frac{\unit[178]{g} }{\unit[20]{cm^3} } = 8,9 \unit[]{\frac{g}{cm^3} } Die Dichte des Würfels beträgt :math:`\unit[8,9]{g/cm^3}`. Da Kupfer die gleiche Dichte besitzt, handelt es sich wahrscheinlich um einen Würfel aus Kupfer. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _kdi03l: * Eine mögliche Lösung besteht darin zu überlegen, dass Kubick-Dezimeter gerade einem Liter entspricht: .. math:: \unit[1]{dm^3} = \unit[1]{l} Quecksilber hat eine Dichte von :math:`\unit[13,6]{kg/dm^3}`, d.h. es passen :math:`m = \unit[13,6]{kg}` in ein Volumen :math:`V = \unit[1]{l}`. Nun steht in der :math:`0,5`-Liter-Flasche nur die Hälfte dieses Volumens zur Verfügung, so dass auch nur die Hälfte dieser Masse hinein passt -- das sind :math:`\unit[6,8]{kg}`. Quecksilber der Masse :math:`m = \unit[6]{kg}` füllt die Flasche somit nicht aus. Ein anderer Lösungsweg ergibt sich, indem man berechnet, welches Volumen die sechs Kilogramm Quecksilber einnehmen: Aus der gegebenen Dichte :math:`\rho = \frac{m}{V} = \unit[13,6]{kg/dm^3}` des Quecksilbers und seiner Masse :math:`m = \unit[6]{kg}` lässt sich das Volumen des Quecksilbers bestimmen: .. math:: \rho = \frac{m}{V} \qquad \Leftrightarrow \qquad V = \frac{m }{\rho } .. math:: V = \frac{m}{\rho } = \frac{\unit[6]{kg}}{ \unit[13,6]{{\frac{kg}{dm^3}} }} = \unit[0,441]{dm^3} = \unit[0,441]{l} Dieses Volumen ist kleiner als :math:`0,5` Liter, also kann man es in die Flasche füllen. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _kdi04l: * Würde Glaswolle ausschließlich aus dem Glasgemisch bestehen, so würde sich aus der Dichte :math:`\rho = \unit[2,5]{g/cm^3} = \unit[2500]{kg/m^3}` bei einem Volumen von :math:`V = \unit[1]{m^3}` eine Masse von :math:`m = \unit[2500]{kg}` ergeben: .. math:: \rho = \frac{m}{V} \quad \Leftrightarrow \quad m = \rho \cdot V \\ m = \unit[2500]{\frac{kg}{m^3} } \cdot \unit[1]{m^3} = \unit[2500]{kg} Tatsächlich wiegt ein Kubickmeter Glaswolle jedoch nur :math:`\unit[100]{kg}`. Das Glasgemisch kann somit -- das Gewicht der Luft wird an dieser Stelle vernachlässigt -- den entsprechenden Bruchteil des Volumens ausmachen: .. math:: \frac{V_{\mathrm{Glasgemisch}}}{V_{\mathrm{gesamt}}} = \frac{100}{2500} = 0,04 = 4\% Der Anteil des Glasgemisches am Gesamtvolumen begrägt somit :math:`4\%`. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _kdi05l: * Das Volumen :math:`V = \unit[75,0]{cm^3}` an Wasser, das aus dem Überlaufgefäß heraus fließt, entspricht dem Volumen des Holz-Blei-Klotzes. Das Bleistück mit der Masse :math:`m_{\mathrm{Pb}} = \unit[400]{g}` und der Dichte :math:`\rho_{\mathrm{Pb}} = \unit[11,3]{g/cm^3}` hat alleine folgendes Volumen: .. math:: V_{\mathrm{Pb}} = \frac{m_{\mathrm{Pb}}}{V_{\mathrm{Pb}}} = \frac{\unit[400]{g}}{\unit[11,3]{\frac{g}{cm^3} }} = \unit[35,4]{cm^3} Das restliche Volumen :math:`V - V_{\mathrm{Pb}} = \unit[75,0]{cm^3} - \unit[35,4]{cm^3} = \unit[39,6]{cm^3}` entspricht somit dem Volumen :math:`V _{\mathrm{Holz}}` des Holzstücks. Da die Masse :math:`m_{\mathrm{Holz}} = \unit[27,5]{g}` des Holzstücks ebenfalls bekannt ist, kann seine Dichte durch Einsetzen der Werte in die Dichte-Formel berechnet werden: .. math:: \rho_{\mathrm{Holz}} = \frac{m_{\mathrm{Holz}}}{V_{\mathrm{Holz}}} = \frac{\unit[27,5]{g}}{\unit[39,6]{cm^3}} \approx \unit[0,69]{\frac{g}{cm^3} } Bei der Holzprobe könnte es sich nach Tabelle :ref:`Dichte einiger Festkörper ` somit um Buche handeln. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _kdi06l: * Das Volumen des Drahts (:math:`r = \unit[1,00]{mm} = \unit[0,10]{cm}`; :math:`l = \unit[100]{m} = \unit[10\,000]{cm}`) kann mit Hilfe der Volumen-Formel für zylindrische Körper berechnet werden: .. math:: V_{\mathrm{Draht}} = \pi \cdot r^2 \cdot l = \pi \cdot \unit[0,01]{cm^2} \cdot \unit[10\,000]{cm} \approx \unit[314]{cm^3} Die Masse des Kupferdrahts :math:`m_{\mathrm{Draht}} = V_{\mathrm{Draht}} \cdot \rho_{\mathrm{Cu}} = \unit[314]{cm^3} \cdot \unit[8,9]{\frac{g}{cm^3}} = \unit[2795]{g}` beträgt somit rund :math:`\unit[2,8]{kg}`. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _kdi07l: * Die Masse des Schnees ist gleich dem Produkt aus seinem Volumen und seiner Dichte: .. math:: m = \rho \cdot V = \unit[200]{\frac{kg}{m^3}} \cdot (\unit[3,00]{m} \cdot \unit[2,00]{m} \cdot \unit[0,25]{m}) = \unit[300]{kg} Die Schneelast hat somit eine Masse von :math:`\unit[300]{kg}`. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. foo .. only:: html :ref:`Zurück zum Skript `