.. index:: single: Bewegung; Kreisförmige Bewegung single: Kreisförmige Bewegung .. _Kreisförmige Bewegung: .. _Kreisförmige Bewegungen: Kreisförmige Bewegungen ======================= Eine kreisförmige Bewegung ist die Bewegung eines Körpers auf einer Kreisbahn. Da einzelne Teile des Körpers dabei unterschiedlich lange Strecken zurücklegen, wird im Allgemeinen nur die Bewegung seines Schwerpunkts betrachtet. .. figure:: ../../pics/mechanik/kinematik/kreisbewegung-fahrzeug-innenspur-aussenspur.png :name: fig-kreisbewegung-innenspur-aussenspur :alt: fig-kreisbewegung-innenspur-aussenspur :align: center :width: 50% Entlang einer Kreisbahn legen die Räder auf der Innen- und Außenspur unterschiedlich weite Strecken zurück. .. only:: html :download:`SVG: Kreisbewegung Innen- und Außenspur <../../pics/mechanik/kinematik/kreisbewegung-fahrzeug-innenspur-aussenspur.svg>` .. index:: Rotation .. rubric:: Rotationen Prinzipiell gibt es keinen Unterschied zwischen einer kreisförmigen Bewegung und einer Rotation. Im Sprachgebrauch bezeichnet man allerdings eine Bewegung als kreisförmig, wenn der Radius der Kreisbahn groß ist im Vergleich zu den Abmessungen des sich bewegenden Körpers; ist der Radius der kreisförmigen Bewegung hingegen in der gleichen Größenordnung wie die Länge des Körpers, so spricht man von einer Rotation. .. Rotationen können auch in Kombination mit geradlinigen oder kreisförmigen Bewegungen auftreten. Derartige Bewegungen sind im Abschnitt Überlagerung von Bewegungen näher beschrieben. (Frisbee auf Kreisbahn) .. _Kreisförmige Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit: Kreisförmige Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit ------------------------------------------------------ Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung ändert sich ständig die Richtung, in die sich der Körper bewegt, jedoch nicht der Betrag seiner Geschwindigkeit. Eine volle Umdrehung entspricht dabei einem Winkel von :math:`2 \cdot \pi = 360\degree`, bei einer Umlaufbahn mit dem Radius :math:`r` beträgt die dabei vom Körper zurückgelegte Strecke :math:`s = 2 \cdot \pi \cdot r`. .. figure:: ../../pics/mechanik/kinematik/kreisbewegung-uhrenzeiger.png :name: fig-kreisbewegung-uhrzeiger :alt: fig-kreisbewegung-uhrzeiger :align: center :width: 30% Die Spitzen eines Uhrzeigers durchlaufen eine Kreisbahn mit konstanter Geschwindigkeit. .. only:: html :download:`SVG: Kreisbewegung Uhrzeiger <../../pics/mechanik/kinematik/kreisbewegung-uhrenzeiger.svg>` .. index:: Winkelgeschwindigkeit, Geschwindigkeit; Winkelgeschwindigkeit .. _Winkelgeschwindigkeit: .. rubric:: Winkelgeschwindigkeit und Drehzahl Bei einer kreisförmigen Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit überstreicht der Ortsvektor des Körpers -- ausgehend vom Mittelpunkt der Kreisbewegung -- in gleichen Zeitabschnitten einen jeweils gleichen Winkel. *Definition:* Die Winkelgeschwindigkeit (auch "Drehgeschwindigkeit" oder "Kreisfrequenz" genannt) :math:`\omega` eines Körpers ist gleich dem Verhältnis aus dem durchlaufenen Winkel :math:`\Delta \varphi` und der dazu benötigten Zeit :math:`\Delta t`: .. math:: \omega = \frac{\Delta \varphi }{\Delta t} Zur Bestimmung der Winkelgeschwindigkeit wird häufig eine komplette Umdrehung :math:`(\varphi = 360\degree = 2 \cdot \pi)` in Relation zu der dafür benötigten Umlaufzeit :math:`T` gesetzt: .. math:: :label: eqn-winkelgeschwindigkeit \omega = \frac{\Delta \varphi }{\Delta t} = \frac{2 \cdot \pi }{T} Die Winkelgeschwindigkeit ist umso schneller, desto kleiner der Wert der Umlaufzeit :math:`T` ist. *Einheit:* Die Winkelgeschwindigkeit :math:`\omega` wird in :ref:`Radiant ` je Sekunde :math:`(\unit{rad/s})` angegeben (:math:`\unit[1]{rad} \approx 57,3 \degree`). Die Winkelgeschwindigkeit ist, wie auch die Bahngeschwindigkeit, eine vektorielle Größe. Da bei einer gleichmäßigen Kreisbewegung die Winkelgeschwindigkeit konstant bleibt, existiert für diese nur eine mögliche Richtung, die ebenfalls unverändert bleibt, und zwar senkrecht zur Drehebene. .. figure:: ../../pics/mechanik/kinematik/winkelgeschwindigkeit.png :name: fig-winkelgeschwindigkeit :alt: fig-winkelgeschwindigkeit :align: center :width: 60% Richtung der Winkelgeschwindigkeit bei einer Rotation oder kreisförmigen Bewegung. .. only:: html :download:`SVG: Winkelgeschwindigkeit <../../pics/mechanik/kinematik/winkelgeschwindigkeit.svg>` Als Merkregel für die Orientierung von :math:`\vec{\omega}` kann die "Rechte-Hand-Regel" genutzt werden: Zeigen die Finger der rechten Hand in Richtung der Drehbewegung, so zeigt der Daumen die Richtung der Winkelgeschwindigkeit an. .. index:: Drehzahl .. _Drehzahl: Neben der Winkelgeschwindigkeit wird bei Dreh- und Rotationsbewegungen häufig auch eine sogenannte "Drehzahl" :math:`n` angegeben, welche die Anzahl an vollständigen Umdrehungen je Zeiteinheit angibt. Zwischen der Drehzahl :math:`n` und der Winkelgeschwindigkeit :math:`\omega` gilt folgender Zusammenhang: .. math:: \omega = 2 \cdot \pi \cdot n Der Faktor :math:`2 \cdot \pi` ergibt sich daraus, dass eine vollständige Umdrehung einem Winkel von :math:`360 \degree = 2 \cdot \pi` entspricht. Da Winkelangaben reine Zahlenwerte sind, wird eine Drehzahl von beispielsweise zehn Umdrehungen je Minute als :math:`n = \unit[10]{\frac{1}{min}}` geschrieben. Wenn allerdings nur :math:`\unit[10]{\frac{1}{min}}` als Bezeichnung angegeben wird, so kann anhand der Einheit nicht zweifelsfrei abgelesen werden, ob damit eine Winkelgeschwindigkeit oder eine Drehzahl gemeint ist. In der Praxis wird die Drehzahl daher häufig in der Form :math:`n = \unit[10]{\frac{U}{min}}` angegeben, wobei :math:`\unit{\frac{U}{min}}` für "Umdrehungen je Minute" steht. .. index:: single: Geschwindigkeit; Bahngeschwindigkeit .. _Bahngeschwindigkeit: .. rubric:: Bahngeschwindigkeit Je weiter ein rotierender Punkt oder ein sich auf einer Kreisbahn bewegender Körper von der Rotationsachse entfernt ist, desto weitere Strecken legt er bei gleicher Winkelgeschwindigkeit zurück. *Definition:* Die Bahngeschwindigkeit :math:`v` eines Körpers auf einer Kreisbahn ist gleich dem Produkt aus seiner Winkelgeschwindigkeit :math:`\omega` und dem Radius :math:`r` der Kreisbahn: .. math:: :label: eqn-bahngeschwindigkeit v = \omega \cdot r = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T} *Einheit:* Die Bahngeschwindigkeit :math:`v` in Meter je Sekunde :math:`(\unit{m/s})` oder in Kilometer je Stunde :math:`(\unit{km/h})` angegeben. .. Beispiel: Sonne um Erde (Winkel- und Bahngeschwindigkeit), Fahrzeug im Kreisverkehr. .. index:: Radialbeschleunigung .. _Radialbeschleunigung: .. rubric:: Radialbeschleunigung Da sich die Richtung der Bahngeschwindigkeit eines mit konstanter Winkelgeschwindigkeit :math:`\omega` beziehungsweise konstanter Bahngeschwindigkeit :math:`v` umlaufenden Punktes ständig ändert, erfährt jeder Körper auf einer Kreisbahn eine zeitlich konstante Radialbeschleunigung :math:`a_{\mathrm{\varphi }}` in Richtung des Kreismittelpunktes. *Definition:* Die Radialbeschleunigung :math:`a_{\mathrm{rad}}` ist direkt proportional zum Quadrat der Bahngeschwindigkeit :math:`v` und umgekehrt proportional zum Kreisradius :math:`r`: .. math:: :label: eqn-radialbeschleunigung a_{\mathrm{rad}} = \frac{v^2}{r} *Einheit:* Die Zentripetalbeschleunigung :math:`a_{\mathrm{rad}}` wird in Meter je Quadratsekunde :math:`(\unit{m/s^2})` angegeben. Die obige Formel für die Radialbeschleunigung lässt sich herleiten, wenn man in einer schematischen Abbildung zu den zwei Ortspunkten :math:`\mathrm{P}_1` und :math:`\mathrm{P}_2` eines sich auf einer Kreisbahn bewegenden Körpers die zugehörigen Bahngeschwindigkeiten :math:`\vec{v}_1` und :math:`\vec{v}_2` einzeichnet. Diese ändern aufgrund der Radialbeschleunigung zwar ihre Richtung, jedoch nicht ihren Betrag, so dass :math:`v_1 = v_2` gilt. Beide Bahngeschwindigkeiten stehen zudem stets senkrecht zur jeweiligen Radiuslinie; bewegt sich also der Körper entlang der Kreisbahn um den Winkel :math:`\varphi` weiter, so dreht sich auch sein Geschwindigkeitsvektor um den gleichen Winkel. .. figure:: ../../pics/mechanik/kinematik/radialbeschleunigung.png :name: fig-radialbeschleunigung :alt: fig-radialbeschleunigung :align: center :width: 50% Schematische Skizze zur Herleitung der Formel für die Radialbeschleunigung. .. only:: html :download:`SVG: Radialbeschleunigung <../../pics/mechanik/kinematik/radialbeschleunigung.svg>` Da der Abstand :math:`r_1=r_2` der Punkte :math:`\mathrm{P}_1` und :math:`\mathrm{P}_2` vom Kreismittelpunkt gleich ist, haben das grün dargestellte Orts-Dreieck und das blau dargestellte Geschwindigkeits-Dreieck neben dem gleichen Winkel :math:`\varphi` zudem ein gleiches Längenverhältnis zweier Seiten, denn es gilt :math:`\frac{v_1}{v_2} = \frac{r_1}{r_2} = 1`. [#]_ Beide Dreiecke sind also einander :ref:`ähnlich ` und stimmen somit in den Längenverhältnissen aller Seiten überein. Folglich gilt: .. math:: \frac{\Delta v}{v} = \frac{\Delta s}{r} \quad \text{oder} \quad \Delta v = \Delta s \cdot \frac{v}{r} Setzt man diesen Ausdruck für die Geschwindigkeitsänderung :math:`\Delta v` in Relation zur dafür benötigten Zeit :math:`\Delta t`, so erhält man die Gleichung :eq:`eqn-radialbeschleunigung` für die Radialbeschleunigung: .. math:: a_{\mathrm{rad}} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{\Delta s}{\Delta t} \cdot \frac{v}{r} = v \cdot \frac{v}{r} = \frac{v^2}{r} Auch bei einer konstanten Bahngeschwindigkeit ist eine Kreisbewegung stets eine beschleunigte Bewegung: Es ändert sich zwar nicht der Betrag :math:`v = | \vec{v} |` der Geschwindigkeit, dafür aber kontinuierlich ihre Richtung. .. index:: Winkelbeschleunigung .. _Kreisförmige Bewegung mit konstanter Beschleunigung: Kreisförmige Bewegungen mit konstanter Beschleunigung ----------------------------------------------------- In gleicher Weise, wie eine Beschleunigung :math:`a` eine Änderung der Geschwindigkeit :math:`v` eines Körpers hervorruft, bewirkt eine Winkelbeschleunigung :math:`\alpha` eine Änderung der Winkelgeschwindigkeit :math:`\omega` eines Körpers. Zwischen der Winkelbeschleunigung :math:`\alpha` und der in der Zeit :math:`\Delta t` bewirkten Änderung der Winkelgeschwindigkeit :math:`\Delta \omega` gilt folgender Zusammenhang: .. math:: :label: eqn-winkelbeschleunigung-1 \alpha = \frac{\Delta \omega }{\Delta t} Die Winkelbeschleunigung ist, wie auch die Winkelgeschwindigkeit, eine vektorielle Größe. Wird beispielsweise eine liegende Scheibe gegen den Uhrzeigersinn beschleunigt, so zeigt die Winkelbeschleunigung nach oben, andernfalls nach unten. [#]_ Allgemein kann wiederum die "Rechten-Hand-Regel" genutzt werden: Zeigen die Finger der rechten Hand in die Beschleunigungsrichtung, so zeigt der Daumen die Richtung der Winkelbeschleunigung an. .. figure:: ../../pics/mechanik/kinematik/winkelbeschleunigung.png :name: fig-winkelbeschleunigung :alt: fig-winkelbeschleunigung :align: center :width: 60% Richtung der Winkelbeschleunigung bei einer Rotation oder kreisförmigen Bewegung. .. only:: html :download:`SVG: Winkelbeschleunigung <../../pics/mechanik/kinematik/winkelbeschleunigung.svg>` Da sich bei einer Bewegung auf einer Kreisbahn der Radius :math:`r` nicht ändert, gibt es einen weiteren Zusammenhang zwischen der Winkelbeschleunigung und der gewöhnlichen tangentialen :ref:`Beschleunigung ` :math:`a`: .. math:: :label: eqn-winkelbeschleunigung-2 \alpha = \frac{a}{r} Für den während der beschleunigten Kreisbewegung durchlaufenen Drehwinkel :math:`\Delta \varphi` gilt ebenfalls in Analogie zur beschleunigten geradlinigen Bewegung: .. math:: :label: eqn-winkelbeschleunigung-winkel \Delta \varphi = \frac{1}{2} \cdot \alpha \cdot (\Delta t)^2 + \varphi_0 Hierbei gibt :math:`\varphi_0` den anfänglichen Winkel der kreisförmigen Bewegung an. An einem rotierfähigen Gegenstand treten Winkelbeschleunigungen immer dann auf, wenn ein resultierendes :ref:`Drehmoment ` :math:`M_{\mathrm{res}}` auf den Gegenstand einwirkt; für die Winkelbeschleunigung gilt dabei :math:`\alpha = \frac{M_{\mathrm{res}}}{I}`, wobei :math:`I` für das :ref:`Trägheitsmoment ` des Gegenstands steht. .. raw:: html
.. only:: html .. rubric:: Anmerkungen: .. [#] Die Indizes der Bahngeschwindigkeiten können somit weggelassen werden, man kann also einfacher :math:`v` für :math:`v_1` und :math:`v_2` sowie :math:`r` für :math:`r_1` und :math:`r_2` schreiben. .. [#] Ebenso ist die Winkelbeschleunigung negativ, wenn ein sich mit positiver Winkelgeschwindigkeit (gegen den Uhrzeigersinn) bewegender Gegenstand auf der Kreisbahn abgebremst wird -- er wird gleichermaßen in Gegenrichtung beschleunigt. .. raw:: html
.. hint:: Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Übungsaufgaben `.