Koordinatensysteme

Koordinatensysteme haben die Aufgabe, die Lage eines Punktes in einer Ebene in übersichtlicher Weise und genau zu beschreiben. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie diese Beschreibung erfolgen kann. Die zwei wichtigsten Koordinatensysteme, das kartesische und das polare, werden in den folgenden Abschnitten kurz beschrieben.

Das kartesische Koordinatensystem

In einem so genannten kartesischen Koordinatensystem ist jeder Punkt der Ebene durch seine Abstände zu den beiden Achsen festgelegt. Diese Abstände werden durch zwei reelle Zahlen angegeben. Dadurch entspricht jedem Punkt ein Zahlenpaar (x,y) und umgekehrt jedem Zahlenpaar (x,y) ein Punkt \mathrm{P}.

fig-koordinatensystem-kartesisch

Darstellung von Punkten in einem kartesischen Koordinatensystem.

Die x-Achse wird bisweilen auch “Abszisse”, die y-Achse “Ordinate” genannt. Auf der x-Achse wird nach rechts positiv, nach links negativ gezählt, auf der y-Achse nach oben positiv, nach unten negativ. Die Ebene des Koordinatensystems wird durch die Achsen in vier Felder aufgeteilt, die “Quadranten” genannt und mit den römischen Ziffern \mathrm{I} ,\, \mathrm{II} ,\, \mathrm{III} \text{ und } \mathrm{IV} bezeichnet werden. In welchem Quadranten ein Punkt liegt, kann anhand der Vorzeichen seiner Koordinaten abgelesen werden.

fig-koordinatensystem-kartesisch-quadranten

Vorzeichen der Koordinaten in den vier Quadranten.

Das Polarkoordinatensystem

In einem so genannten Polarkoordinatensystem ist jeder Punkt \mathrm{P} der Ebene durch seinen Abstand r vom Koordinatenursprung und den Winkel \varphi seiner Verbindungslinie mit dem Koordinatenursprung und der Horizontalen eindeutig festgelegt.

fig-koordinatensystem-polar

Darstellung von Punkten in einem polaren Koordinatensystem.

Die Koordinaten r und \varphi eines Punktes in einem Polarkoordinatensystem und die Koordinaten x und y des selben Punktes in einem kartesischen System lassen sich unmittelbar ineinander umrechnen.

Sind x und y bekannt, so gilt für die Polarkoordinaten r und \varphi:

r &= \sqrt{x^2 + y^2} \\[4pt]
\tan{\varphi} = \frac{y}{x} \quad &\text{bzw.} \quad \varphi =
\tan^{-1}{\left(\frac{y}{x}\right)}

Sind im umgekehrten Fall r und \varphi bekannt, so gilt für die kartesischen Koordinaten x und y:

x &= r \cdot \cos{\varphi} \\[4pt]
y &= r \cdot \sin{\varphi} \\

Bei der Umrechnung zwischen kartesischen und polaren Koordinaten werden die drei trigonometrischen Größen Sinus, Cosinus und Tangens verwendet. Beide Koordinatensysteme haben Vor- und Nachteile, die je nach Art der mathematischen Aufgabenstellung überwiegen. In diesem Sinne ist kein Koordinatensystem dem anderen überlegen; das kartesische wird allerdings weitaus häufiger verwendet.