.. _Algebraische Strukturen:

Algebraische Strukturen
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Fasst man eine Menge :math:`\mathbb{M}` und eine Relation :math:`R` zu einem
geordneten Paar :math:`[\mathbb{M} ;\; R]` zusammen, so wird dadurch
dargestellt, dass die Relation :math:`R` in der Menge :math:`\mathbb{M}` erklärt
ist. Entsprechend bedeutet :math:`[ \mathbb{M} ;\; \mathrm{Op}]`, dass in der Menge
:math:`\mathbb{M}` die Operation :math:`\mathrm{Op}` erklärt ist. In beiden Fällen
spricht man von einer (algebraischen) Struktur.

Bildet man nach dem gleichen Prinzip ein geordnetes Paar :math:`[\mathbb{M} ;\;
R_1 ,\, \ldots ,\, R _{\mathrm{n}} ;\; \mathrm{Op}_1 ,\, \ldots ,\,
\mathrm{Op}_{\mathrm{n}}]`, das aus einer nichtleeren "Trägermenge"
:math:`\mathbb{M}` sowie den Relationen :math:`R_1 ,\, \ldots ,\,
R_{\mathrm{n}}` und den Operationen :math:`\mathrm{Op}_1 ,\, \ldots ,\,
\mathrm{Op} _{\mathrm{n}}` besteht, so spricht man von einem (algebraischen)
Bereich.

Trotz des begrifflichen Unterschieds ist es üblich, einen Bereich und seine
Trägermenge mit dem selben Symbol darzustellen. Die wichtigsten Bereiche
beziehungsweise Mengen der allgemeinen Mathematik sind:

* :math:`\mathbb{N}`: Die Menge (beziehungsweise der Bereich) der natürlichen Zahlen
* :math:`\mathbb{Z}`: Die Menge (beziehungsweise der Bereich) der ganzen Zahlen
* :math:`\mathbb{Q}`: Die Menge (beziehungsweise der Bereich) der rationalen Zahlen
* :math:`\mathbb{R}`: Die Menge (beziehungsweise der Bereich) der reellen Zahlen
* :math:`\mathbb{C}`: Die Menge (beziehungsweise der Bereich) der komplexen Zahlen

.. Todo Körperaxiome:
   Die Menge :math:`\mathbb{R}` an Zahlen (beispielsweise reelle Zahlen) biltet
   zusammen mit den Operatoren ":math:`+`" und ":math:`\cdot`" die Struktur
   :math:`(\mathbb{R},+,-)`, die alle folgenden Körperaxiome erfüllt:
.. K A D N I
.. Kommutativität: 
   :math:`a,\, b \in \mathbb{R} \rightarrow a + b = b + a`
   :math:`a,\, b \in \mathbb{R} \rightarrow a \cdot b = b \cdot a`
.. Assoziativität:
   :math:`a,\, b \in \mathbb{R} \rightarrow (a + b) + c = a + (b + c)`
   :math:`a,\, b \in \mathbb{R} \rightarrow (a \cdot  b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)`
.. Distributivität:
   :math:`a,\, b \in \mathbb{R} \rightarrow a \cdot (b + c) = a \cdot c + b \cdot c`
.. Neutrales Element:
   :math:`a \in \mathbb{R} \rightarrow a + 0 = 0 + a = a`
   :math:`a \in \mathbb{R} \rightarrow a \cdot  1 = 1 \cdot a = a`
.. Inverses Element:
   :math:`a \in \mathbb{R} \rightarrow a + (-a) = (-a) + a = 0`
   :math:`a \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \rightarrow a \cdot  \frac{1}{a} = \frac{1}{a} \cdot a = 1`



.. TODO Handbuch Mathe Physik Chemie S. 53:


.. TODO Körper der booleschen Zahlen; UND entspricht Multiplikation, ODER der
.. Addition