.. index:: Ableitung; von rationalen Funktionen .. _Ableitungen von ganz- und gebrochenrationalen Funktionen: Ableitungen von ganz- und gebrochenrationalen Funktionen ======================================================== .. _Ableitungen von ganzrationalen Funktionen: Ableitungen von ganzrationalen Funktionen ----------------------------------------- Eine ganzrationale Funktion hat allgemein folgende Form: .. math:: f(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i = a_{\mathrm{n}} \cdot x^n + a_{\mathrm{n-1}} \cdot x ^{n-1} + \ldots + a_3 \cdot x^3 + a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x^1 + a_0 Um die Ableitung einer solchen Funktion zu bestimmen, müssen folgende zwei Ableitungsregeln verwendet werden: * Wird eine Funktion :math:`f(x)` mit einem konstanten Faktor :math:`c` multipliziert, so bleibt dieser Faktor beim Ableiten unverändert erhalten. Für die Ableitung gilt somit: .. math:: \big( c \cdot f(x) \big)' = c \cdot f'(x) Ist :math:`c` negativ, so ist die Funktion gegenüber der ursprünglichen Funktion an der :math:`x`-Achse gespiegelt. In diesem Fall hat auch die Steigung ein umgekehrtes Vorzeichen. * Besteht eine Funktion :math:`f(x)` aus einer Summe von Einzelfunktionen :math:`f_1(x),\,f_2(x),\, \ldots`, so ist die Ableitung gleich der Summe der Ableitungen der Einzelfunktion. Es gilt also: .. math:: \big( f_1(x) + f_2(x) \big)' = f_1'(x) + f_2'(x) Mit den obigen Regeln und den :ref:`Ableitungsregeln für Potenzfunktionen ` ergibt sich somit für die erste Ableitung einer ganzrationalen Funktion :math:`n`-ten Grades: .. math:: f'(x) = n \cdot a_n \cdot x ^{n-1} + (n-1) \cdot a_{\mathrm{n-1}} \cdot x ^{n-2} + \ldots + 3 \cdot a_3 \cdot x^2 + 2 \cdot a_2 \cdot x^1 + a_1 Die Ableitung einer ganzrationalen Funktion :math:`n`-ten Grades ist somit eine ganzrationale Funktion :math:`(n-1)`-ten Grades. Leitet man die Funktion ein zweites mal ab, so wird der Grad der Ableitungsfunktion wiederum um :math:`1` niedriger. Für die zweite Ableitung gilt entsprechend: .. math:: f''(x) = n \cdot (n-1) \cdot a_n \cdot x ^{n-2} + (n-1) \cdot (n-2) \cdot a_{\mathrm{n-1}} \cdot x^{n-3} + \ldots + 3 \cdot 2 \cdot a_3 \cdot x^1 + 2 \cdot a_2 Insgesamt lässt sich eine ganzrationale Funktion :math:`n`-ten Grades also :math:`n` mal ableiten; alle weiteren Ableitungen sind gleich Null. .. _Ableitungen von gebrochenrationalen Funktionen: Ableitungen von gebrochenrationalen Funktionen ---------------------------------------------- Eine :ref:`gebrochenrationale Funktion ` hat allgemein folgende Form: .. math:: f(x) = \frac{Z(x)}{N(x)} = \frac{\sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i}{\sum_{k=0}^{m} b_k \cdot x^k} = \frac{a_{\mathrm{n}} \cdot x^n + a_{\mathrm{n-1}} \cdot x ^{n-1} +\ldots + a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0}{b_{\mathrm{m}} \cdot x^m +b_{\mathrm{m-1}} \cdot x ^{m-1} + \ldots + b_2 \cdot x^2 + b_1 \cdot x + a_0} Gebrochenrationale Funktionen bestehen also aus einem Zählerpolynom :math:`Z(x)` mit Grad :math:`n` und einem Nennerpolynom :math:`N(x)` mit Grad :math:`m`; die Grade des Zählerpolynoms und des Nennerpolynoms unterscheiden sich also um :math:`n-m`. Um eine solche Funktion ableiten zu können, muss eine weitere Ableitungsregel verwendet werden: * Besteht eine Funktion :math:`f(x)` aus einem Quotienten zweier Einzelfunktionen :math:`f_1(x)` und :math:`f_2(x)`, so lässt sich die Ableitung von :math:`f(x)` nach folgender Regel berechnen: .. math:: \left(\frac{f_1(x)}{f_2(x)}\right)' = \frac{f_1'(x) \cdot f_2(x) - f_1(x) \cdot f_2'(x)}{\big(f_2(x)\big)^2} Für die Ableitung einer gebrochenrationalen Funktion gilt also: .. math:: :label: eqn-ableitung-gebrochenrationaler-funktionen f'(x) = \frac{Z'(x) \cdot N(x) - N'(x) \cdot Z}{\big(N(x)\big)^2} Die Ableitungen des Zähler- bzw. Nennerpolynoms werden dabei gemäß den Regeln für Ableitungen ganzrationaler Funktionen gebildet. Das Ergebnis ist hierbei wiederum eine gebrochenrationale Funktion, wobei sich die Grade des Zählerpolynoms und des Nennerpolynoms der Ableitung um :math:`n-m-1` unterscheiden. Echt gebrochen-rationale Funktionen mit :math:`n < m` lassen sich somit unbegrenzt oft ableiten, wobei die einzelnen Ableitungen niemals gleich Null sind. .. _Ableitungen von Hyperbelfunktionen: .. rubric:: Ableitungen von Hyperbelfunktionen :ref:`Hyperbeln `, also Funktionen der Form :math:`f(x) = \frac{1}{x^n}`, sind der einfachste Sonderfall von gebrochenrationalen Funktionen. Für ihre Ableitung gilt: .. math:: \left( \frac{1}{x^n}\right)' = \frac{0 \cdot x^n - n \cdot x ^{n-1} \cdot 1}{\left(x ^{n}\right)^2} = \frac{- n \cdot x ^{n-1}}{x ^{2 \cdot n}} = - n \cdot x ^{(n-1) - 2 \cdot n} = -n \cdot x ^{-n -1} Schreibt man für die Hyperbelfunktion :math:`f(x) = \frac{1}{x^n} = x ^{-n}`, so zeigt sich, dass die Ableitungen entsprechend der :ref:`Ableitungsregel für Potenzfunktionen ` gebildet werden können: .. math:: :label: eqn-ableitung-von-hyperbelfunktionen \left( x^{-n} \right)' = -n \cdot x ^{-n -1} Die Ableitungsregel für Potenzfunktionen gilt also nicht nur für positive rationale Werte von :math:`n`, sondern allgemein für negative ganzzahlige Werte von :math:`n`. .. _Ableitungen von Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten: .. rubric:: Ableitungen von Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten Um zu zeigen, dass die Ableitungsregel für Potenzfunktionen allgemein für jede rationale Zahl :math:`n = \frac{p}{q}` mit :math:`p,q \in \mathbb{Z}` gilt, muss eine weitere Ableitungsregel verwendet werden: * Besteht eine Funktion :math:`f(x)` aus einer :ref:`Verkettung zweier Einzelfunktionen ` :math:`f_1(x)` und :math:`f_2(x)`, so lässt sich die Ableitung von :math:`f(x)` nach der so genannten "Kettenregel" berechnen: .. math:: \Big(f_1\big(f_2(x)\big)\Big)' = \Big(f_1'\big(f_2(x)\big)\Big) \cdot f_2'(x) Dabei wird zunächst die äußere Funktion abgeleitet, die innere Funktion bleibt dabei unverändert. Anschließend wird der sich ergebende Term mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert. Für die Ableitung einer Potenzfunktion :math:`f(x) = x ^{\frac{p}{q}}` mit rationalem Exponenten :math:`n = \frac{p}{q}` gilt damit: .. math:: \left( x ^{\frac{p}{q}}\right)' = \left(\left( x ^{\tiny{p}}\right) ^{\frac{1}{q}}\right)' &= \frac{1}{q} \cdot \left( x ^{p}\right) ^{\left(\frac{1}{q} - 1\right)} \cdot p \cdot x ^{(p-1)} \\ & = \frac{p}{q} \cdot x ^{p \cdot \left( \frac{1}{q} - 1\right)} \cdot x ^{(p-1)} \\ &= \frac{p}{q} \cdot x ^{\left( \frac{p}{q} - p\right) + (p - 1)} \\ &= \frac{p}{q} \cdot x ^{\left(\frac{p}{q} - 1 \right)} \qquad \checkmark Hierbei werden die :ref:`Rechenregeln für Potenzen und Wurzeln ` genutzt und :math:`f_1(x)=x ^{\frac{1}{q}}` als "äußere" sowie :math:`f_2(x)=x^p` als "innere" Funktion interpretiert. Beim Ableiten der äußeren Funktion bleibt die innere Funktion als eigener Term unverändert. Das Ergebnis wird anschließend mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert, was umgangssprachlich als "Nachdifferenzieren" bezeichnet wird. Ein Zusammenfassen der einzelnen Terme führt schließlich zum gesuchten Endergebnis.